Question

R: -1/6

$\lim_{x \to 2 \sqrt{x^2+12-4 / 2- \sqrt{x^3-4}$

Answer 1

Olá


Limites, formas indeterminadas.


$\displaystyle \mathsf{ \lim_{x \to 2} \frac{ \sqrt{x^2+12}-4 }{2- \sqrt{x^3-4} } ~=~ \frac{0}{0} }$


Temos uma indeterminação do tipo 0/0, para escaparmos dela, vamos multiplicar o limite pelo conjugado do numerador e fazer as devidas simplificações;



$\displaystyle \mathsf{ \lim_{x \to 2} \frac{ \sqrt{x^2+12}-4 }{2- \sqrt{x^3-4} } \cdot \frac{ \sqrt{x^2+12}+4 }{ \sqrt{x^2+12}+4 } }\\\\\\ \mathsf{ \lim_{x \to 2} \frac{ (\sqrt{x^2+12})^2-(4)^2 }{(2- \sqrt{x^3-4})\cdot(\sqrt{x^2+12}+4 ) } }\\\\\\ \mathsf{ \lim_{x \to 2} \frac{x^2+12-16 }{(2- \sqrt{x^3-4})\cdot(\sqrt{x^2+12}+4 ) } }\\\\\\ \mathsf{ \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4 }{(2- \sqrt{x^3-4})\cdot(\sqrt{x^2+12}+4 ) } }$




O limite ainda continua dando uma indeterminação 0/0, então vamos novamente multiplicar pelo conjugado, só que dessa vez, do denominador.



$\displaystyle \mathsf{ \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4 }{(2- \sqrt{x^3-4})\cdot(\sqrt{x^2+12}+4 ) }\cdot \frac{2+ \sqrt{x^3-4}}{2+ \sqrt{x^3-4}} }\\\\\\ \mathsf{ \lim_{x \to 2} \frac{(x^2-4)\cdot(2+ \sqrt{x^3-4}) }{((2)^2- (\sqrt{x^3-4})^2)\cdot(\sqrt{x^2+12}+4 ) } }\\\\\\\mathsf{ \lim_{x \to 2} \frac{(x^2-4)\cdot(2+ \sqrt{x^3-4}) }{(4- (x^3-4)\cdot(\sqrt{x^2+12}+4 ) } }\\\\\\\mathsf{ \lim_{x \to 2} \frac{(x^2-4)\cdot(2+ \sqrt{x^3-4}) }{(8-x^3)\cdot(\sqrt{x^2+12}+4 ) } }$



Vamos fazer algumas fatorações

fatorar:

x² - 4 = (x-2)(x+2)

8-x³ = -(x-2)(x²+2x+4)       <-     Propriedade do cubo



Substituindo essas fatorações no limite


$\displaystyle \mathsf{ \lim_{x \to 2} \frac{(x^2-4)\cdot(2+ \sqrt{x^3-4}) }{(8-x^3)\cdot(\sqrt{x^2+12}+4 ) } }\\\\\\\mathsf{ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)\cdot(2+ \sqrt{x^3-4}) }{(-(x-2)(x^2+2x+4))\cdot(\sqrt{x^2+12}+4 ) } }$



Simplifica os termos: (x-2)



$\displaystyle\mathsf{ \lim_{x \to 2} \frac{(x+2)\cdot(2+ \sqrt{x^3-4}) }{(-(x^2+2x+4))\cdot(\sqrt{x^2+12}+4 ) } }$


Distribuindo o sinal negativo


$\displaystyle\mathsf{ \lim_{x \to 2} \frac{(x+2)\cdot(2+ \sqrt{x^3-4}) }{(-x^2-2x-4)\cdot(\sqrt{x^2+12}+4 ) } }$



RESOLVENDO O LIMITE



$\displaystyle\mathsf{ \lim_{x \to 2} \frac{(x+2)\cdot(2+ \sqrt{x^3-4}) }{(-x^2-2x-4)\cdot(\sqrt{x^2+12}+4 ) }}\\\\\\\mathsf{ =\frac{((2)+2)\cdot(2+ \sqrt{(2)^3-4}) }{(-(2)^2-2(2)-4)\cdot(\sqrt{(2)^2+12}+4 ) }}\\\\\\\\\mathsf{ =\frac{4\cdot4}{-12\cdot 8} }\\\\\\\mathsf{= \frac{16^{\div 16}}{-96^{\div 16}} }\\\\\\\boxed{\mathsf{=- \frac{1}{6} }}$




$\displaystyle \boxed{\mathsf{ \lim_{x \to 2} \frac{ \sqrt{x^2+12}-4 }{2- \sqrt{x^3-4} } ~=~ -\frac{1}{6} }}$





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