Questões de soma e produto/ equação do segundo grau para estudar? obrigado
Soluções para a tarefa
(Fuvest) Se m e n são raízes de x² – 6x + 10 = 0, então 1/m + 1/n vale :
a) 6
b) 2
c) 1
d) 3/5
e) 1/6
resposta = Antes de tentar resolver a equação, vamos operar a soma de frações 1/m + 1/n:
1 + 1 = n + m
m n m.n
Para realizar essa soma, não precisamos saber exatamente qual é o valor das raízes m e n da equação, basta utilizar as Relações de Girard, isto é, encontrar o valor da soma e do produto dessas raízes. Na equação x² – 6x + 10 = 0, temos os coeficientes a = 1, b = – 6 e c = 10. Para determinar a soma S, fazemos:
S = – b
a
S = – (– 6)
1
S = 6
A soma das raízes m e n resulta em 6. Vamos agora encontrar o produto P:
P = c
a
P = 10
1
P = 10
O produto m.n é igual a 10. Podemos então calcular o quociente pedido no exercício:
n + m = 6 = 3
m.n 10 5
Portanto, a alternativa correta é a letra d.
QUESTÃO 002
(Mackenzie) Sejam a e b raízes da equação x² – 3kx + k² = 0 tais que a² + b² = 1,75. O valor de k² é :
a) (1,75)²
b) 17,5
c) 175
d) 0,5
e) 0,25
RESPOSTA: Vamos aplicar as relações de soma e produto para resolver essa equação do 2° grau. Para tanto, vale ressaltar que os coeficientes da equação são a = 1, b = – 3k e c = k². Através da soma das raízes, temos S:
S = – b
a
S = – (– 3k)
1
S = 3k
Temos também o produto das raízes definido por:
P = c
a
P = k²
1
P = k²
O enunciado do problema identifica as raízes da equação como a e b. A partir dos cálculos que fizemos acima, podemos afirmar que a + b = 3k e a.b = k².Vamos elevar a soma das raízes ao quadrado, isto é:
(a + b)² = (3k)²
a² + 2ab + b² = 9k²
Mas acabamos de discutir que o produto das raízes é a.b = k². Substituindo essa informação na equação anterior, temos:
a² + 2(k²) + b² = 9k²
a² + 2k² + b² = 9k²
a² + b² = 9k² – 2k²
a² + b² = 7k²
Novamente, de acordo com o enunciado, temos que a² + b² = 1,75.Substituindo esse valor na equação, temos:
a² + b² = 7k²
1,75 = 7k²
k² = 1,75
7
k² = 0,25
Portanto, a alternativa correta é a letra e.
DENADA!