Question

questão sobre inequação exponencial

Answer 1

Resolver a inequação exponencial:

$(0,25)^{x-2}+(0,25)^{x-3}\leq 1\,280\\ \\ (\frac{1}{4})^{x-2}+(\frac{1}{4})^{x-3}\leq 1\,280\\ \\ (\frac{1}{2^{2}})^{x-2}+(\frac{1}{2^{2}})^{x-3}\leq 1\,280\\ \\ (2^{-2})^{x-2}+(2^{-2})^{x-3}\leq 1\,280\\ \\ 2^{-2\,(x-2)}+2^{-2\,(x-3)}\leq 1\,280\\ \\ 2^{-2x+4}+2^{-2x+6}\leq 1\,280\\ \\ 2^{-2x+4}+2^{-2x+4+2}\leq 1\,280\\ \\ 2^{-2x+4}+2^{-2x+4}\cdot 2^{2}\leq 1\,280$


Colocando o fator $2^{-2x+4}$ em evidência no lado esquerdo:

$2^{-2x+4}\cdot (1+2^{2})\leq 1\,280\\ \\ 2^{-2x+4}\cdot (1+4)\leq 128\cdot 10\\ \\ 2^{-2x+4}\cdot 5\leq 1\,280$


Dividindo os dois lados por $5,$ que é positivo, o sentido da desigualdade se mantém:

$2^{-2x+4}\cdot 5\leq 256\cdot 5\\ \\ 2^{-2x+4}\leq 256\\ \\ 2^{-2x+4}\leq 2^{8}$


Na última linha acima, temos uma desigualdade entre exponenciais de mesma base $2,$ que é maior que $\mathbf{1}.$ Portanto, o sentido da desigualdade se mantém para os expoentes:

$-2x+4\leq 8\\ \\ -2x\leq 8-4\\ \\ -2x\leq 4$


Dividindo os dois lados por $-2,$ que é negativo, o sentido da desigualdade se inverte:

$x\geq \frac{4}{-2}\\ \\ x \geq -2$


O conjunto solução é o intervalo $[-2,\,+\infty).$