Question

QUESTÃO:
Prove por indução que: 1 + 2 + 3+ ... + n = $\frac{n(1 + n)}{2}$ , para n ∈ Ν.

Answer 1

Olá!

Vamos provar por indução que:
Sn: 1+2+3+...+n = n(n+1)/2 , para todo n ∈ IN 
I) Provemos para n = 1. Temos:
S₁: 1 = 1(1+1)/2 = 1.2/2 = 1 (V)

II) Suponhamos que vale para n = k, ou seja:
Sk: 1+2+3+...+k = k(k+1)/2 [Hipótese de Indução]

III) Provemos para n = k+1, ou seja:
Sk+1: 1+2+3+...+k+k+1 = (k+1).[(k+1)+1]/2  -> Usando a HI, vem:
           ---------------
    
                            k(k+1)+2(k+1)     (k+2).(k+1)                  
k(k+1)/2 + k+1 = -------------------- = -------------- = (k+1)[(k+1)+1] / 2
                                     2                       2              

que é o que queríamos demonstrar.

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Espero ter ajudado! :)