Question

Questão:
Para quantos inteiros positivos n a fração n
__________
30-n
também será um inteiro positivo?
(A) 4.
(B) 5.
(C) 6.
(D) 7.
(E) 8.
3​

Answer 1

Para a expressão ser inteira positiva, existem 5 inteiros positivos $n$, ou seja, a resposta correta é a opção (B).

Vamos pensar um pouco. Queremos que a expressão $\dfrac{n}{30-n}$ dê um número inteiro positivo, substituindo o $n$ por um número inteiro positivo também.

Um número inteiro é um número sem casas decimais diferentes de zero e pode ser tanto positivo como negativo.

Exemplo:

$[...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...]$

Certo. Então nós queremos que aquela expressão dê um resultado positivo e sem nenhuma casa decimal. Vamos analisar o contrário, quando é que esta expressão pode ser negativa?

Caso o numerador ou o denominador seja negativo, a expressão fica negativa.

O numerador nunca pode ser negativo, porque o $n$ é um número inteiro positivo. E o denominador? Se repararmos, se o $n$ for 30 ou mais vamos ficar com uma expressão negativa, exemplo:

$n=31,~~\dfrac{31}{30-31} =\dfrac{31}{-1}=-\dfrac{31}{1}$

Também não queremos o 30, porque:

$n=30,~~\dfrac{31}{30-30} =\dfrac{31}{0}=\mathsf{Erro}$

(Não esquecer que nós não sabemos, na Matemática, quanto é qualquer número a dividir por zero. É um número indefinido e logo não inteiro.)

Certo. Então nada de número maiores ou iguais a 30.

Agora queremos que a expressão seja inteira. E para isso não pode ter casas decimais.

Vamos relembrar uma coisa, se o numerador for menor que o denominador o número que vai originar é entre o 1 e o 0,

$n<d, ~~\dfrac{n}{d} <1$

Exemplo: $1<3, ~~\dfrac{1}{3}= 0,3333...<1$

E existe algum número inteiro entre 1 e 0. A resposta é simples, não.

O que é que eu quero dizer com isto? Nós não queremos que a nossa expressão tenha o numerador menor que o denominador, porque senão vai nos dar um número com casas decimais, e números com casas decimais não são inteiros.

Muito bem. Então vamos ver quando é que o nosso numerador é menor que o denominador:

$n=1,~~\dfrac{1}{30-1} =\dfrac{1}{29},~~1<29\\\\n=12,~~\dfrac{2}{30-2} =\dfrac{2}{28},~~2<28\\\\...\\\\n=14,~~\dfrac{14}{30-14} =\dfrac{14}{16},~~14<16\\\\n=15,~~\dfrac{15}{30-15} =\dfrac{15}{15},~~15=15\\\\n=16,~~\dfrac{16}{30-16} =\dfrac{16}{14},~~16>14$

O que é que isto significa? Que também não nos interessam os números a partir 14 para baixo, porque como já expliquei eles vão fazer com que o numerador seja menor que o denominador e não vão originar números inteiros.

Então só queremos os números do 15 até ao 29.

Agora vamos testar:

$n=16,~~\dfrac{16}{30-16} =\dfrac{16}{14}=\diagup\!\!\!\!\!\dfrac{8}{7} \\\\n=17,~~\dfrac{17}{30-17} =\diagup\!\!\!\!\!\!\dfrac{17}{13}\\\\n=18,~~\dfrac{18}{30-18} =\dfrac{18}{12}=\dfrac{9}{6}=\diagup\!\!\!\!\!\dfrac{3}{2} \\\\n=19,~~\dfrac{19}{30-19} =\diagup\!\!\!\!\!\!\dfrac{19}{11}\\\\n=20,~~\dfrac{20}{30-20} =\dfrac{20}{10}=\dfrac{2}{1}=2~\checkmark\\\\...$

Certo, agora basta testarmos até 29. Estes foram os resultados que estão de acordo com a condição:

$n=20,~~\dfrac{20}{10}=2 ~\checkmark\\\\n=24,~~\dfrac{24}{6}=4 ~\checkmark\\\\n=25,~~\dfrac{25}{5}=5 ~\checkmark\\\\n=28,~~\dfrac{28}{2}=14~\checkmark\\\\n=29,~~\dfrac{29}{1}=29 ~\checkmark$

Logo existem 5 possíveis inteiros positivos $n$, na qual a expressão $\dfrac{n}{30-n}$ também vai ser inteira positiva.

Resumindo, só tivemos que estudar e fazer as exceções de que situações não cumpriam a condição. Depois que tínhamos um número menor de opções possíveis testamos e encontramos o número de casos que cumpriam a condição.

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