Question

- Questão original segue em anexo:

O valor da integral de linha: $\int\limits^ ._C (x y^{2} dx+ x^{2} y dy)$ em que C , é o arco da párabola $x=t;$ $y= t^{2},$ de (0,0)a (2,4), é?

Answer 1

Caso esteja pelo app, e tenha problemas para visualizar esta resposta, experimente abrir pelo navegador:  https://brainly.com.br/tarefa/8996596

—————————

Calcular o valor da integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva:

     $\mathsf{\displaystyle\int_C xy^2\,dx+x^2y\,dy}$


sendo  C  o arco de parábola descrito pelas equações paramétricas:

     $\mathsf{C:~}\left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{x=t}\\\mathsf{y=t^2} \end{array} \right.\qquad\quad \mathsf{0\le t\le 2.}$


Reescrevendo a integral de linha na forma de produto vetorial, queremos calcular

     $\mathsf{\displaystyle\int_C \left\langle xy^2,\,x^2y\right\rangle\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int_0^2 \left\langle xy^2,\,x^2y\right\rangle\cdot C'(t)\,dt}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int_0^2 \left\langle xy^2,\,x^2y\right\rangle\cdot \frac{d}{dt}\left\langle x,\,y\right\rangle dt}$


Substitua  x  e  y  pelas expressões dadas nas equações paramétricas:

     $=\mathsf{\displaystyle\int_0^2 \left\langle t\cdot (t^2)^2,\,(t)^2\cdot t^2\right\rangle\cdot \frac{d}{dt}\left\langle t,\,t^2\right\rangle dt}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int_0^2 \left\langle t\cdot t^4,\,t^2\cdot t^2\right\rangle\cdot \left\langle 1,\,2t\right\rangle dt}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int_0^2 \left\langle t^5,\,t^4\right\rangle\cdot \left\langle 1,\,2t\right\rangle dt}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int_0^2 (t^5\cdot 1+t^4\cdot 2t)\,dt}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int_0^2 (t^5+2t^5)\,dt}$

     $=\mathsf{\displaystyle\int_0^2 3t^5\,dt}\\\\\\ =\mathsf{3\cdot \dfrac{t^{5+1}}{5+1}\bigg|_0^2}\\\\\\ =\mathsf{3\cdot \dfrac{t^6}{6}\bigg|_0^2}\\\\\\ =\mathsf{3\cdot \left(\dfrac{2^6}{6}-\dfrac{0^6}{6}\right)}\\\\\\ =\mathsf{3\cdot \dfrac{64}{6}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{192}{6}}\\\\\\ =\mathsf{32}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)