Questão n° 23O polinómio do 2o grau F(x) que verifica a identidade F(x + 1) = x~-7x + 6 éa)F(x) = x2- 14x + 9b)F(x) = x2+9x + 14c)F(x) = x2-5xd)F(x) = x2-9x + 14e)F(x) = x2-7x + 4
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51
Olá,
O polinômio F(x) é um polinômio de 2º grau, então, será da forma:
F(x) = ax² + bx + c
sendo a, b, c reais.
Dessa forma, o polinômio F(x+1), será:
F(x+1) = a(x+1)² + b(x+1) + c
F(x+1) = a(x²+2x+1) + b(x+1) + c
F(x+1) = ax² + a2x+ a + bx+ b + c
F(x+1) = ax² + (2a+b)x+ (a + b + c)
sendo a, b, c reais.
Temos a relação:
F(x+1) = x² - 7x + 6
ax² + (2a+b)x+ (a + b + c) = 1x² - 7x + 6
Em uma igualdade de polinômios, os coeficientes são iguais, assim:
a = 1
2a + b = -7
a + b + c = 6
Resolvendo esse sistema de equações, obtemos:
2 · 1 + b = -7
b = -7 - 2
b = - 9
e
a + b + c = 6
c = 6 - a - b
c = 6 - 1 - (-9)
c = 6 - 1 + 9
c = 14
Assim, F(x) = x² -9x + 14. A alternativa D é a correta.
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