Question

Questão Matemática, com Cos​

Answer 1

Utilizando séries de potencias, temos que independente do resultado das figuras esta integral tem resultado divergente.

Explicação passo-a-passo:

Neste caso, nem precisamos resolver o problema figurativo, pois temos a seguinte integral:

$I=\int_{a}^{\infty}C.\frac{cos(x)}{x}dx$

Onde "a" e "C" são para representar os valores que não são necessarios encontrar.

Agora note que podemos reescrever cosseno como uma séria de potencias:

$I=\int_{a}^{\infty}C.\frac{1}{x}\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...\right)dx$

Passando 1/x para dentro da integral temos que:

$I=\int_{a}^{\infty}C.\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{2!}+\frac{x^3}{4!}-\frac{x^5}{6!}+...\right)dx$

Note que podemos separar esta integral em duas pois é uma soma:

$I=\int_{a}^{\infty}C.\frac{1}{x}dx+\int_{a}^{\infty}C.\left(-\frac{x}{2!}+\frac{x^3}{4!}-\frac{x^5}{6!}+...\right)dx$

Ambas são possíveis de se integrar, porém a da direita seria termo a termo com resultado sendo uma séria alternada, porém a integral da esquerda é mais simples:

$I=C.ln(x)|_{a}^{\infty}+\int_{a}^{\infty}C.\left(-\frac{x}{2!}+\frac{x^3}{4!}-\frac{x^5}{6!}+...\right)dx$

$I=C(ln(\infty)-ln(a))+\int_{a}^{\infty}C.\left(-\frac{x}{2!}+\frac{x^3}{4!}-\frac{x^5}{6!}+...\right)dx$

Assim podemos ver que a integral do lado esquerdo é divergente, logo, não importa o resultado alternado da integral da direita, pois a esta integral é o resultado de uma soma com uma divergencia, logo, ela é divergente, assim o resultado desta integral é $I=+\infty$.