Question

Questão de Matemática

(x^2-2x+8).(x^2-5x+6).(x^2-4)<0

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

(x² - 2x + 8) · (x² - 5x + 6) · (x² - 4) < 0

Iguale cada equação da expressão a zero para calcularmos sua raízes

    x² - 2x + 8 = 0          (a = 1 ; b = -2 ; c = 8)

    usando a fórmula quadrática, fica

    x = -b ± √(b² - 4ac)

                    2a

    x = - (-2) ± √((-2)² - 4 × 1 × 8)

                             2 × 1

    x = 2 ± √(4 - 32)

                   2

    x = 2 ± √-28

                2

    reescreva -28 como -1 · 28

    x = 2 ± √(-1 · 28)

                   2

    sabendo que -1 = i² e 28 = 2² · 7, fica

    x = 2 ± √(i² · 2² · 7)

                     2

    x = 2 ± i · 2 · √7

                   2

    x = 2 ± 2i√7

                2

    x = 2 · (1 ± i√7)

                  2

    x = 1 ± i√7

    ----------------------------------------------------------------------

    x²- 5x + 6 = 0          (a = 1 ; b = -5 ; c = 6)

    encontre um par de números inteiros cuja soma é -5 e cujo produto

    é 6. Esses números são -3 e -2. Substitua no -5

    x² - 3x - 2x + 6 = 0

    agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos

    (x² - 3x) + (-2x + 6) = 0

    no 1º, coloque o x em evidência e no 2º, o -2 em evidência

    x · (x - 3) - 2 · (x - 3) = 0

    coloque o (x - 3) em evidência

    (x - 3) · (x - 2) = 0

    iguale cada equação a zero para calcularmos as raízes

    x - 3 = 0  →  x = 3

    x - 2 = 0  →  x = 2

    ---------------------------------------------------------------

    x² - 4 = 0

    x² = 0 + 4

    x² = 4

    x = ±√4

    x = ±2

Daí, as raízes são:  -2, 2, 3

Use cada raiz para criar intervalos de teste

    x < -2

    -2 < x < 2

    2 < x < 3

    x > 3

Escolha um valor de teste de cada intervalo e coloque este valor na desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade

    x < -2  →  vamos escolher o -4. Substitua na inequação original

       ((-4)² - 2 · (-4) + 8) · ((-4)² - 5 · (-4) + 6) · ((-4)² - 4) < 0

       (16 + 8 + 8) · (16 + 20 + 6) · (16 - 4) < 0

       32 · 42 · 12 < 0

       16128 < 0  →  falso

    -2 < x < 2  → vamos escolher o 0. Substitua na inequação original

       (0² - 2 · 0 + 8) · (0² - 5 · 0 + 6) · (0² - 4) < 0

       (0 - 0 + 8) · (0 - 0 + 6) · (0 - 4) < 0

       8 · 6 · (-4) < 0

       -192 < 0  →  verdadeiro

    2 < x < 3  → vamos escolher o 2,5. Substitua na inequação original

       ((2,5)² - 2 · 2,5 + 8) · ((2,5)² - 5 · 2,5 + 6) · ((2,5)² - 4) < 0

       (6,25 - 5 + 8) · (6,25 - 12,5 + 6) · (6,25 - 4) < 0

       9,25 · (-0,25) · 2,25 < 0

       -5,203125 < 0  →  verdadeiro

    x > 3  →  vamos escolher o 6. Substitua na inequação original

       (6² - 2 · 6 + 8) · (6² - 5 · 6 + 6) · (6² - 4) < 0

       (36 - 12 + 8) · (36 - 30 + 6) · (36 - 4) < 0

       32 · 12 · 32 < 0

       12288 < 0  →  falso

A solução é composta por todos os intervalos verdadeiros. Então:

    -2 < x < 2     ou     2 < x < 3