Question

Questão de logaritmo... preciso de uma ajudinha!!

Answer 1

$\mathrm{\ell og}_{(2-x)}(18+x)=2$


Condições de existência:

$\bullet\;\;$ A base do logaritmo deve ser positiva e diferente de $1:$

$2-x>0~~\text{ e }~~2-x\ne 1\\\\ x<2~~\text{ e }~~x\ne 1~~~~~~\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ O logaritmando deve ser positivo:

$18+x>0\\\\ x>-18~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Logo, combinando as condições $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)}\,,$ a condição de existência para a equação dada é

$-18<x<2~~\text{ e }~~x\ne 1\\\\ -18<x<1~~\text{ ou }~~1<x<2\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x\in\mathbb~\left]-18,\,1\right[~\cup~\left]1,\,2\right[ \end{array}}~~~~~~\mathbf{(iii)}$

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Resolvendo a equação dada, respeitando a condição de existência:

$\mathrm{\ell og}_{(2-x)}(x+18)=2\\\\ (2-x)^2=x+18\\\\ 4-4x+x^2=x+18\\\\ x^2-4x+4-x-18=0\\\\ x^2-5x-14=0$


A equação acima é uma equação do 2º grau em $x.$ Podemos resolvê-la usando a fórmula resolutiva de Báscara. Mas aqui, vou escolher fatoração por agrupamento:

$x^2-5x-14=0\\\\ x^2+2x-7x-14=0\\\\ x\,(x+2)-7\,(x+2)=0\\\\ (x+2)\,(x-7)=0\\\\ \begin{array}{rcl} x+2=0&~\text{ ou }~&x-7=0\\\\ x=-2&~\text{ ou }~&x=7~~\text{(n\~ao serve)}\\\\ \end{array}$


Observe que $x=7$ não satisfaz a condição de existência dos logaritmos. Portanto, temos apenas uma solução:

$\boxed{\begin{array}{c}x=-2 \end{array}}$

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Se $a$ é a solução real da equação dada, então $a=-2.$ Sendo assim,

$a^2+1\\\\ =(-2)^2+1\\\\ =4+1\\\\ =5$


Resposta: alternativa $\text{b) }5.$