Question

Questão de função inversa (matemática básica)

Sabendo que $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ é irrevertível em R – { 1 }, determine f-¹(x)

a) $f(x) = \frac{x - 1}{2x + 1}$
b)$f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$
c)$f(x) = \frac{x - 2}{x + 1}$
d)$f(x) = \frac{x + 2}{x - 1}$

uma explicação cairia bem​

Answer 1

$\large{ \boxed{ \boxed{\sf \: b) \: {f}^{ -1 } (x) = \dfrac{x + 1}{x - 2} }}}$

Solução

Temos a função expressa por:

$\large{ \sf \:f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1} }$

Para calcularmos a função inversa desta função, iremos seguir alguns passos.

Primeiramente, vamos trocar $\sf \: f(x)$ por $\sf \: y$ e, assim, temos que:

$\large{ \sf \:y = \dfrac{2x + 1}{x - 1} }$

Agora, iremos trocar a posição de $\sf \: x$ e $\sf \: y$. Onde tem $\sf \: x$, devemos colocar $\sf \: y$ e no lugar de $\sf \: y$ devemos colocar $\sf \: x$. logo:

$\large{ \sf \: x = \dfrac{2y + 1}{y - 1} }$

Agora, devemos isolar o $\sf \: y$. Para tal, seguimos as operações básicas de manipulação de igualdade:

$\large{ \sf \: \iff \: 2y + 1 = x \cdot(y - 1)} \\ \\ \large{ \sf \: \iff \: 2y + 1 = xy - x} \\ \\ \large{ \sf \: \iff \: 2y - xy = - x - 1} \\ \\ \large{ \sf \: \iff \: - y( - 2 + x) = - (x + 1)} \\ \\ \large{ \sf \: \iff \: - y(x - 2) = - (x + 1) \: \: \: \blue{\cdot( - 1)}} \\ \\ \large{ \sf \: \iff \: y(x - 2) = x + 1} \\ \\ \large{ \sf \: \therefore \: y = \dfrac{x + 1}{x - 2} }$

Podemos chamar $\sf \: y$ de $\sf \: {f}^{ - 1} (x)$ e obtemos:

$\large{ \sf \: {f}^{ -1 } (x) = \dfrac{x + 1}{x - 2} }$