Question

Questão de derivada:

Answer 1

$f\left(x \right )=\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}$

A declividade da reta tangente ao gráfico de $f$ em um ponto de abscissa $x$ qualquer é dada pela derivada de $f$ em relação a $x$. Derivando em relação a $x$, temos

$f'\left(x \right )=\dfrac{4x^{4-1}}{4}-\dfrac{3x^{3-1}}{3}-2x^{2-1}\\ \\ f'\left(x \right )=x^{3}-x^{2}-2x$


a) $-2x$

$f'\left(x \right )=-2x\\ \\ x^{3}-x^{2}-2x=-2x\\ \\ x^{3}-x^{2}-2x+2x=0\\ \\ x^{3}-x^{2}=0\\ \\ x^{2}\cdot \left(x-1 \right )=0\\ \\ x^{2}=0\;\;\text{ ou }\;\;x-1=0\\ \\ x=0\;\;\text{ ou }\;\;x=1$


$\bullet\;\;$ para $x=0$

$y=f\left(0 \right )\\ \\ y=\dfrac{0^{4}}{4}-\dfrac{0^{3}}{3}-0^{2}\\ \\ y=0$

O primeiro ponto é $\left(0,\,0 \right )$.


$\bullet\;\;$ para $x=1$

$y=f\left(1 \right )\\ \\ y=\dfrac{1^{4}}{4}-\dfrac{1^{3}}{3}-1^{2}\\ \\ y=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}-1\\ \\ y=\dfrac{3-4-12}{12}\\ \\ y=-\dfrac{13}{12}$

O segundo ponto é $\left(1,\,-\dfrac{13}{12} \right )$.


b) $0$

$f'\left(x \right )=0\\ \\ x^{3}-x^{2}-2x=0\\ \\ x\cdot \left[\,x^{2}-x-2\, \right ]=0\\ \\ x\cdot \left[\,x^{2}+x-2x-2\, \right ]=0\\ \\ x\cdot \left[\,x\cdot \left(x+1 \right )-2\cdot \left(x+1 \right )\, \right ]=0\\ \\ x\cdot \left[\,\left(x+1 \right )\cdot \left(x-2 \right )\, \right ]=0\\ \\ x\cdot \left(x+1 \right )\cdot \left(x-2 \right )=0\\ \\ x=0\;\;\text{ ou }\;\;x+1=0\;\;\text{ ou }\;\;x-2=0\\ \\ x=0\;\;\text{ ou }\;\;x=-1\;\;\text{ ou }\;\;x=2$


$\bullet\;\;$ para $x=0$

$y=f\left(0 \right )=0$

O primeiro ponto é $\left(0,\,0 \right )$.


$\bullet\;\;$ para $x=-1$

$y=f\left(-1\right )\\ \\ y=\dfrac{\left(-1 \right )^{4}}{4}-\dfrac{\left(-1 \right )^{3}}{3}-\left(-1 \right )^{2}\\ \\ y=\dfrac{1}{4}-\dfrac{\left(-1 \right )}{3}-1\\ \\ y=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-1\\ \\ y=\dfrac{3+4-12}{12}\\ \\ y=-\dfrac{5}{12}$

O segundo ponto é $\left(-1,\, -\dfrac{5}{12} \right )$.


$\bullet\;\;$ para $x=2$

$y=f\left(2 \right )\\ \\ y=\dfrac{2^{4}}{4}-\dfrac{2^{3}}{3}-2^{2}\\ \\ y=\dfrac{16}{4}-\dfrac{8}{3}-4\\ \\ y=4-\dfrac{8}{3}-4\\ \\ y=-\dfrac{8}{3}$

O terceiro ponto é $\left(2,\,-\dfrac{8}{3} \right)$.


c) $10x$

$f'\left(x \right )=10x\\ \\ x^{3}-x^{2}-2x=10x\\ \\ x^{3}-x^{2}-2x-10x=0\\ \\ x^{3}-x^{2}-12x=0\\ \\ x\cdot \left[\,x^{2}-x-12\, \right ]=0\\ \\ x\cdot \left[\,x^{2}+3x-4x-12\, \right ]=0\\ \\ x\cdot \left[\,x\cdot \left(x-3 \right )-4\cdot \left(x+3 \right )\, \right ]=0\\ \\ x\cdot \left[\,\left(x+3 \right )\cdot \left(x-4 \right )\, \right ]=0\\ \\ x\cdot \left(x+3 \right )\cdot \left(x-4 \right )=0\\ \\ x=0\;\;\text{ ou }\;\;x+3=0\;\;\text{ ou }\;\;x-4=0\\ \\ x=0\;\;\text{ ou }\;\;x=-3\;\;\text{ ou }\;\;x=4$


$\bullet\;\;$ para $x=0$

$y=f\left(0 \right )=0$

O primeiro ponto é $\left(0,\,0 \right )$.


$\bullet\;\;$ para $x=-3$

$y=f\left(-3 \right )\\ \\ y=\dfrac{\left(-3 \right )^{4}}{4}-\dfrac{\left(-3 \right )^{3}}{3}-\left(-3 \right )^{2}\\ \\ y=\dfrac{81}{4}-\dfrac{\left(-27 \right )}{3}-9\\ \\ y=\dfrac{81}{4}+\dfrac{27}{3}-9\\ \\ y=\dfrac{81}{4}+9-9\\ \\ y=\dfrac{81}{4}$

O segundo ponto é $\left(-3,\,\dfrac{81}{4} \right )$.


$\bullet\;\;$ para $x=4$

$y=f\left(4 \right )\\ \\ y=\dfrac{4^{4}}{4}-\dfrac{4^{3}}{3}-4^{2}\\ \\ y=\dfrac{256}{4}-\dfrac{64}{3}-16\\ \\ y=64-\dfrac{64}{3}-16\\ \\ y=48-\dfrac{64}{3}\\ \\ y=\dfrac{144-64}{3}\\ \\ y=\dfrac{80}{3}$

O terceiro ponto é $\left(4,\,\dfrac{80}{3} \right )$.