Question

Questão de comprimento de equação paramétrica, segue a questão na imagem. ( Se não dispuser de tempo para resolver toda, preciso saber ao menos como achar os limites de integração).

Answer 1

$\bullet\;\;$ A curva é dada pelas seguintes equações paramétricas:

$\gamma:\;\left\{ \begin{array}{l} x(t)=3e^{-t}\cos(6t)\\ y(t)=3e^{-t}\,\mathrm{sen}(6t) \end{array} \right.\;\;\;\;\;t\geq 0$


$\bullet\;\;$ O vetor velocidade é dado por

$\gamma'(t)=\left(x'(t),\,y'(t) \right )\\ \\ \gamma'(t)=\left((3e^{-t}\cos(6t))',\,(3e^{-t}\,\mathrm{sen}(6t))' \right )\\ \\ \gamma'(t)=\left(-3e^{-t}\cos(6t)-18e^{-t}\,\mathrm{sen}(6t),\,-3e^{-t}\,\mathrm{sen}(6t)+18e^{-t}\cos(6t) \right )\\ \\ \gamma'(t)=-3e^{-t}\left(\cos(6t)+6\,\mathrm{sen}(6t),\,\,\mathrm{sen}(6t)-6\cos(6t) \right )$


Tomando o módulo do vetor velocidade acima, temos

$\|\gamma'(t)\|=3e^{-t}\sqrt{\left[\cos(6t)+6\,\mathrm{sen}(6t)\right]^{2}+\left[\mathrm{sen}(6t)-6\cos(6t) \right ]^{2}}\\ \\ \\ \|\gamma'(t)\|=3e^{-t}\sqrt{\cos^{2}(6t)+12\,\mathrm{sen}(6t)\cos(6t)+36\,\mathrm{sen^{2}}(6t)+}\\ \\ \overline{+\mathrm{sen^{2}}(6t)-12\,\mathrm{sen}(6t)\cos(6t)+36\cos^{2}(6t)\;}\\ \\ \\ \|\gamma'(t)\|=3e^{-t}\sqrt{37\cos^{2}(6t)+37\,\mathrm{sen^{2}}(6t)}\\ \\ \|\gamma'(t)\|=3e^{-t}\sqrt{37\left[\cos^{2}(6t)+\,\mathrm{sen^{2}}(6t) \right ]}\\ \\ \|\gamma'(t)\|=3e^{-t}\sqrt{37}$


$\bullet\;\;$ Veja que o ponto inicial é obtido fazendo $t=0:$

$\gamma(0)=\left(x(0),\,y(0) \right )\\ \\ \gamma(0)=\left(3,\,0 \right )$


O valor de $t$ aumenta, até que $t=\frac{\pi}{12}.$ Neste ponto, foi percorrido o primeiro quadrante pela primeira vez:

$\gamma\left(\frac{\pi}{12}\right)=\left(x(\frac{\pi}{12}),\,y(\frac{\pi}{12}) \right )\\ \\ \gamma\left(\frac{\pi}{12}\right)=\left(3e^{-\pi/12}\cos(\frac{\pi}{2}),\,3e^{-\pi/12}\,\mathrm{sen}(\frac{\pi}{2}) \right )\\ \\ \gamma\left(\frac{\pi}{12}\right)=3e^{-\pi/12}\cdot \left(0,\,1\right)$


Note que conforme o parâmetro $t$ cresce, a imagem da curva espirala no sentido anti-horário e se aproxima cada vez mais da origem. Sendo assim, o comprimento da curva é dado pela seguinte expressão (integral imprópria):

$L=\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}{\|\gamma'(t)\|\,dt}\\ \\ \\ L=\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}{3e^{-t}\sqrt{37}\,}dt\\ \\ \\ L=3\sqrt{37}\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}{e^{-t}\,}dt\\ \\ \\ L=3\sqrt{37}\cdot \left.(-e^{-t})\right|_{0}^{\infty}\\ \\ \\ L=3\sqrt{37}\cdot \left[\underset{t\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,(-e^{-t})-(-e^{0}) \right ]\\ \\ \\ L=3\sqrt{37}\cdot \left[0+1 \right ]\\ \\ L=3\sqrt{37}\mathrm{\;u.c.}$