Question

Questão de Algebra, ajuda pfv

Answer 1

a.

Para que a transformação linear seja reversível, ela deve ser injetora e sobrejetora. Para que ela seja injetora, seu núcleo deve ser o espaço nulo, ou seja, o sistema abaixo deve possuir apenas a solução trivial $x=y=0$:

$\left\{\begin{matrix}3x-y=0\\2x+y=0\end{matrix}\right.$

Somando ambas as equações, ficamos com $3x-y+2x+y=0+0\Leftrightarrow x=0\Leftrightarrow y=0$. Conclui-se assim que a transformação é injetora.

No caso dela ser sobrejetora, seu conjunto imagem deve formar o contradomínio $\mathbb{R}^2$. Podemos dizer que $T(x,y)=x(3,2)+y(-1,1)$, logo $(3,2)$ e $(-1,1)$ são os geradores do conjunto imagem. Como existem apenas 2 vetores e eles não são múltiplos, eles são linearmente independentes logo formam uma base para o conjunto imagem. Daí tiramos que o conjunto imagem tem dimensão 2 e, como $\mathbb{R}^2$ também tem dimensão 2, o conjunto imagem da transformação gera $\mathbb{R}^2$, implicando que a transformação é sobrejetora.

Sendo injetora e sobrejetora, pode-se afirmar que a transformação é inversível.

b.

Para definir a lei de $T^{-1}$, devemos inicialmente definir as transformações dos elementos de uma base do domínio $\mathbb{R}^2$. Uma base simples que logo vem em mente é a base canônica $\{(1,0),(0,1)\}$. As transformações dos seus elementos são $T(1,0)=(3,2)$ e $T(0,1)=(-1,1)$.

Por definição da transformação inversa, $T^{-1}(3,2)=(1,0)$ e $T^{-1}(-1,1)=(0,1)$. Devemos agora definir um vetor $(x,y)$ como combinação linear de $(3,2)$ e $(-1,1)$. Para isso, basta calcular o valor de escalares $a_{1,2}$ tais que:

$(x,y)=a_1(3,2)+a_2(-1,1)$

Que é equivalente a resolver o seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix}3a_1-a_2=x\\2a_1+a_2=y\end{matrix}\right.$

Resolvendo-o, obtém-se que $a_1=(x+y)/5$ e $a_2=(-2x+3y)/5$, ou seja:

$(x,y)=\frac{x+y}{5}(3,2)+\frac{-2x+3y}{5}(-1,1)$

Finalmente, temos que:

$T^{-1}(x,y)=T^{-1}\left(\frac{x+y}{5}(3,2)+\frac{-2x+3y}{5}(-1,1)\right)$

Por propriedade das transformações lineares, $T(\vec{a}+\vec{b})=T(\vec{a})+T(\vec{B})$ e $T(k\vec{a})=kT(\vec{a})$, logo:

$T^{-1}(x,y)=T^{-1}\left(\frac{x+y}{5}(3,2)\right)+T^{-1}\left(\frac{-2x+3y}{5}(-1,1)\right)$

$T^{-1}(x,y)=\frac{x+y}{5}T^{-1}\left((3,2)\right)+\frac{-2x+3y}{5}T^{-1}\left((-1,1)\right)$

Lembrando que $T^{-1}(3,2)=(1,0)$ e $T^{-1}(-1,1)=(0,1)$:

$T^{-1}(x,y)=\frac{x+y}{5}(1,0)+\frac{-2x+3y}{5}(0,1)$

$T^{-1}(x,y)=(\frac{x+y}{5},\frac{-2x+3y}{5})$