Question

Questão anulada de MATEMÁTICA sobre cálculo de ÁREA DE PENTÁGONO.


Tentei fazer essa questão, mesmo sabendo que foi anulada, mas não consegui resolver completamente e não estou achando nenhuma resolução na internet. Na verdade, desenvolvi a conta até chegar nessa equação $a^{2} (sen36-cos108*sen36+sen108 )$

Não sei se até aí está certo, mas sei que tem mais coisa para desenvolver, pois a resposta não está em função do lado.

Gostaria, portanto, da ajuda de vocês para resolver essa questão.

Answer 1

Boa noite!

Primeiramente temos que calcular o valor de um ângulo do pentágono.
A soma dos ângulos em um polígono convexo qualquer vale:
$S_n=(n-2)180^\circ\\ S_5=(5-2)180^\circ\\ S_5=(3)180^\circ=540^\circ$

Calculando agora o valor de um ângulo:
$a_5=\frac{S_5}{5}\\ a_5=\frac{540^\circ}{5}=108^\circ$

Como o triângulo AEF é isósceles (lados AE=EF) os ângulos A e F são iguais. Como o E vale 108 então, A=F=36 graus.

Sobrou agora no quadrilátero ABCD, no ângulo A, o valor de 108-36=72 graus.

Sendo a diagonal EC paralela à base AB os ângulos A e D (no quadrilátero ABCD) são colaterais internos, portanto, suplementares entre si.
O triângulo AED é isósceles também (tem dois ângulos iguais, o D=72 e E=72 também.

Para finalizar, o quadrilátero ABCD é um losango, pois tem 4 lados paralelos dois a dois e, se dois lados tem medidas iguais (são lados do pentágono), todos os lados com medidas iguais.

Sua área pode ser calculada como:
$A=\overline{AB}\cdot\overline{BC}\sin(108^\circ)\\ A=2\cdot{2}\sin(108^\circ)\\ A=4\sin(108^\circ)$

Letra E)

Espero ter ajudado!