Question

QUESTÃO 5 (UFMG) Nesta figura, está representado o trapézio isósceles ABCD:

Sabe-se que:
• os segmentos AC e AD têm o mesmo comprimento;
• o segmento BE é perpendicular ao segmento AD; e
• os segmentos BC e BE medem, cada um, 1cm.
a) Calcule o comprimento do segmento AE.
b) Calcule a tangente do ângulo θ.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

1) AB = 1 e BC = 1 , logo triângulo ABC é isósceles retângulo, portanto os ângulos da base são iguais, onde ângulo BAC = 45° e BCA 45°.

2) Ângulo AEB = 90°, concluímos que AEC = 135°.

3) Comprimento de CE² = 1² + 1² ⇒ CE² = 2 ⇒ CE = √2

4) Chamando de x AE e traçando uma perpendicular ao lado AD, CF, vemos que FD = x, como BC = EF = 1, então AD = 2x + 1 e AC = 2x + 1, pois AC = AD.

5) Pela lei dos cossenos, a² = b² + c² - 2bc.cosA

(2x + 1) ² = x² +(√2)² - 2.x√2.cos135º

4x² + 4x + 1 = x² + 2 - 2x√2(-√2/2)

4x² + 4x + 1 = x² + 2 - 2 x(-2/2)

4x² + 4x + 1 = x² + 2 + 2x

4x² + 4x + 1 - x² -2x - 2 = 0

3x² + 2x - 1 = 0

Δ = 2² -4.3.(-1) = 16

x ( -2 + 4)/6

x = 2/6

x =1/3  ou x = (-2 - 4)/6 = -1 ( Não serve)

6) Como AC = 2x + 1

    Temos: AC = 2.1/3 + 1 = 2/3 + 1 ⇒ AC =  5/3

7) Pela lei dos cossenos

(1/3)² = (5/3)² + (√2)² - 2.(5/3).(1/3)cos∅

1/9 = 25/9 + 2 - [10√2)/3]cos∅

(10√2)/3 . cos∅ = 25/9 + 2 - 1/9

(10√2)/3 . cos∅ = (25 + 18 - 1)/9

(10√2)/3 cos∅ = 42/9

10√2cos∅ = 42/9 . 3

10√2 cos∅ = 14

cos∅ = (14/10√2)

cos∅ = 7/5√2 ⇒ sec∅ = 5√2/7

tg²∅ = sec²∅ - 1

tg²∅ = (5√2/7)² -1

tg²∅ = 50/49 -1

tg²∅ = 1/49

tg∅ = 1/7 ou tg∅ = -1/7 (não serve, pois ∅ ∈ 1° quadrante, angulo de um triângulo)