Question

Questão 4-Seguindo essa sequência, qual será a diferença entre o nono número triangular e o quinto número quadrado?

a) 36
b) 45
c) 52​

Answer 1

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\red{4)}~\blue{ N.D.O. }~~~}}$

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá novamente, Mak. Vamos a mais um exercício❗ Acompanhe a resolução abaixo. ✌

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☔ Poderíamos desenhar ambas a nona figura triangular e a quinta figura quadrada, somar seus pontos e subtrair um do outro. Mas qual seria o propósito desse procedimento mecânico? Quase nenhum. Vamos então procurar uma generalização para encontrarmos a quantidade de pontos da n-ésima figura. Inicialmente então vamos modelar o comportamento das nossas sequências triangular e quadrada. Considerando a ordenação das figuras pelo conjunto dos naturais (1, 2, 3...) então vejamos o comportamento delas conforme aumentamos n

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n = 1 (primeira figura)

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➡ $\large\sf\blue{ P_t = 1 }$

➡ $\large\sf\blue{ P_q = 1 }$

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n = 2 (segunda figura)

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➡ $\large\sf\blue{ P_t = 1 + 2 = 3 }$

➡ $\large\sf\blue{ P_q = 1 + 3 = 4 }$

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n = 3 (terceira figura)

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➡ $\large\sf\blue{ P_t = 1 + 2 + 3 = 6 }$

➡ $\large\sf\blue{ P_q = 1 + 3 + 5 = 9 }$

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n = 4 (quarta figura)

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➡ $\large\sf\blue{ P_t = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 }$

➡ $\large\sf\blue{ P_q = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 }$

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☔ Consegue ver o padrão? Podemos identifica-lo como sendo uma Soma de Progressão Aritmética de $a_1 = 1$, $r_t = 1$ e $r_q = 2$. Com essa informação poderemos sempre

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1. Identificar o n-ésimo termo;
2. Realizar a soma dos primeiros n termos (que equivale a quantidade de pontos da n-ésima figura).

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☔ Para encontrarmos o n-ésimo termo de uma P.A., caso ele seja um dos primeiros, podemos encontrá-lo de forma quase intuitiva ao encontrarmos todos os seus antecessores, um por um. Mas e se o n-ésimo termo for o 50º? Ou o 100º? Pela estrutura da progressão aritmética apresentar um comportamento padronizado podemos generalizar o processo através da equação

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{\rm a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r } & \\ & & \\ \end{array}}}}}$

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$\pink{\Longrightarrow}~\orange{\sf\Large a_n}$ sendo o n-ésimo termo da p.a.;

$\pink{\Longrightarrow}~\orange{\sf\Large a_1}$ sendo o primeiro termo da p.a.;

$\pink{\Longrightarrow}~\orange{\sf\Large n}$ sendo a posição do termo na p.a.;

$\pink{\Longrightarrow}~\orange{\sf\Large r}$ sendo a razão da p.a.

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☔ Desta forma temos que

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➡ $\large\sf\blue{ a_{t_9} = 1 + (9 - 1) \cdot 1 }$

➡ $\large\sf\blue{ a_{t_9} = 1 + 8 \cdot 1 }$

➡ $\large\sf\blue{ a_{t_9} = 1 + 8 }$

➡ $\large\sf\blue{ a_{t_9} = 9 }$

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➡ $\large\sf\blue{ a_{q_5} = 1 + (5 - 1) \cdot 2 }$

➡ $\large\sf\blue{ a_{q_9} = 1 + 4 \cdot 2 }$

➡ $\large\sf\blue{ a_{q_9} = 1 + 8 }$

➡ $\large\sf\blue{ a_{q_9} = 9 }$

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☔ Temos que para encontrarmos a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética utilizamos a equação

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm S_n = \dfrac {(a_1 + a_n) \cdot n}{2}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\pink{\Longrightarrow}~\orange{\sf\Large a_n}$ sendo o n-ésimo termo da p.a.;

$\pink{\Longrightarrow}~\orange{\sf\Large a_1}$ sendo o primeiro termo da p.a.;

$\pink{\Longrightarrow}~\orange{\sf\Large n}$ sendo a posição do termo na p.a.;

$\pink{\Longrightarrow}~\orange{\sf\Large S_n}$ sendo a soma dos n primeiros termos da P.G.

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☔ Desta forma temos que

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➡ $\large\sf\blue{S_{t_9} = \dfrac{(1 + 9) \cdot 9}{2}}$

➡ $\large\sf\blue{S_{t_9} = \dfrac{(10) \cdot 9}{2}}$

➡ $\large\sf\blue{S_{t_9} = \dfrac{90}{2}}$

➡ $\large\sf\blue{S_{t_9} = 45}$

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➡ $\large\sf\blue{S_{q_5} = \dfrac{(1 + 9) \cdot 5}{2}}$

➡ $\large\sf\blue{S_{q_5} = \dfrac{(10) \cdot 5}{2}}$

➡ $\large\sf\blue{S_{q_5} = \dfrac{50}{2}}$

➡ $\large\sf\blue{S_{q_5} = 25}$

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➡ $\large\sf\blue{ S_{t_9} - S_{q_5} = 45 -25 = 20 }$

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\red{4)}~\blue{ N.D.O. }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\large\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$