Question

Questão 4: O número das estrelas da figura n é dado por,​

Answer 1

Resposta:

A)

Explicação passo-a-passo:

Vamos substituir o n e de seguida contar o número de estrela para a respetiva figura:

B) Se n = 1, 2x( 1 + 1) = 4 estrelas (a figura1 só tem 3 estrelas).Falso

C) Se n=1, 3x1 + 1 = 4 estrelas (a figura1 só tem 3 estrelas).Falso

d) Se n = 1, (3x1 +2)/2 = 5/2 estrelas ( a figura1 só tem 3 estrelas).Falso

e)Se n=2, 2x4 +1=9 estrelas ( a figura2 só tem 6 estrelas).Falso

Então o numero de estrelas só pode ser dado por A)

Answer 2

Utilizando formulações geral de Progressão Arimética (P.A.), temos que a formula que nos da a quantidade de estrelas na figura n é a formula  (n+1)(n+2)/2, letra A.

Explicação passo-a-passo:

Note que temos o seguinte número de estrelas nas figuras:

Figura 1 = 3

Figura 2 = 6

Figura 3 = 10

figura 4 = 15

Note que estes número de estrelas sempre aumenta um a mais que o anterior no valor do anterior, pois a segunda figura adicionou 3 na figura 1 e a terceira figura adicionou 4 na figura 2, e assim por diante. Então podemos reescrever estes números de uma forma mais simples, somando valores que vem depois, note:

Figura 1 = 1 + 2

Figura 2 = 1 + 2 + 3

Figura 3 = 1 + 2 + 3 + 4

Figura 4 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Assim podemos escrever uma sequência 'A' de valores, que são somados neles como sendo um Progressão Aritmética (P.A.), da forma:

A = ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .... )

Está é a sequência de todos os números que iremos somar na nossa figura. Onde o primeiro termo 'A1' é 1 e a razão 'R' desta PA é igual a 1 também, pois os proximos valores são sempre os anteriores somados de 1.

E conseguimos com isso achar qualquer termo 'An' da nossa PA terla forma dos termos que é dada por:

$A_n=A_1+R.(n-1)$

Substituindo os valores que temos de 'A1' e 'R':

$A_n=1+1.(n-1)$

$A_n=1+n-1$

$A_n=n$

E com isso sabemos também que se somarmos todos os valores de uma PA até o o termo 'An', sabemos o valor desta soma 'Sn' por meio da formula de soma de PA:

$S_n=(A_1+A_n).\frac{n}{2}$

Substituindo os valores que temos:

$S_n=(1+n).\frac{n}{2}$

$S_n=\frac{n  . (n+1)}{2}$

E assim temos esta formula para nossa soma e note que as nossa figura originais são exatamente a soma de todos os números da nossa sequência:

Figura 1 = 1 + 2

Figura 2 = 1 + 2 + 3

Figura 3 = 1 + 2 + 3 + 4

Figura 4 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

A figura 4 por exemplo é a soma de todos os números até 5, então a figura n é a soma de todos os números até n+1, assim substituindo n por n+1 na nossa forma 'Sn' de soma de PA, descobriremos o número que nos da a quantidade de estrelas na nossa figura n:

$S_n=\frac{n  . (n+1)}{2}$

$S_{n+1}=\frac{(n+1)  . ((n+1)+1)}{2}$

$S_{n+1}=\frac{(n+1)  . (n+1+1)}{2}$

$S_{n+1}=\frac{(n+1)  . (n+2)}{2}$

Assim temos que a formula que nos da a quantidade de estrelas na figura n é a formula  (n+1)(n+2)/2, letra A.

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