Question

Questão 4: Numa progressão geométrica, o terceiro termo é igual a 27 e a razão é ½.

a) Calcule o quinto termo da progressão.

b) Calcule a posição ocupada pelo termo 27/16.

Answer 1

Resposta:

Olá bom dia!

Observe que numa P.G. se a razão "q" é um número entre 0 e 1, a sequência é decrescente.

O termo geral de uma P.G. é obtido por:

$A_n=A_1*q^{n-1}$

O sucessor e antecessor de um termo $A_{n}$ são respectivamente dados por:

$A_{n+1} = A_n *q\\\\A_{n-1} = A_n : q$

a)

Se o terceiro termo é 27, então o segundo é:

$A_2 = A_3 : \frac{1}{2}$

$A_2 = 27 : \frac{1}{2}$

$A_2=27*2$

$A_2 = 54$

E o primeiro é:

$A_1 = A_2 * 2$

$A_1 = 54 * 2$

$A_1 = 108$

Logo o quinto termo será:

$A_5 = A_1*q^{5-1}$

$A_5 = 108*(\frac{1}{2})^4$

$A_5 = 108 * \frac{1^4}{2^4}$

$A_5 = 108 * \frac{1}{16} \\\\A_5 = \frac{108}{16} \\\\A_5 = \frac{27}{4}$

b)

A posição ocupada pelo termo $\frac{27}{16}$ é:

$A_n = \frac{27}{16}$

Substituindo na expressão do termo geral:

$\frac{27}{16} = 108 * (\frac{1}{2})^n$

É uma equação exponencial. Devemos procurar igualar as bases:

$(\frac{1}{2})^n = \frac{27}{16} : 108$

$(\frac{1}{2})^n = \frac{27}{16} * \frac{1}{108}$

$(\frac{1}{2})^n = \frac{1}{16} * \frac{1}{4}$

$(\frac{1}{2} )^n = \frac{1}{64}$

Como:

64 = $2^6$

$(\frac{1}{2} )^n = (\frac{1}{2^6})$

$(\frac{1}{2} )^n = (\frac{1}{2}) ^6$

Como as bases são iguais, então:

n = 6

Ou seja, $\frac{27}{16}$  é o elemento que ocupa a posição número 6, ou seja o sexto termo.