Question

Questão 3. A soma dos n primeiros termos de uma sequência (A1, A2, A3,..., an, ...) é dada por
Sn=n^2- 4n +5. Nestas condições:
a) determine o nono termo dessa sequência;
b) essa sequência pode ser classificada como uma P.A. ou uma P.G.? Justifique sua resposta.​

Answer 1

Resposta:

a) 13

b) não é nem PA nem PG, mas é uma PA a partir do segundo termo.

Explicação passo-a-passo:

a)

Observe que

S₉ = a₁ + a₂+ ... + a₈ + a₉

S₈ = a₁ + a₂+ ... + a₈

Assim, para achar o termo a₉ basta subtrair S₈ de S₉. Daí temos:

S₉ = 9² - 4*9 + 5 = 81 - 36 + 5 = 50

S₈ = 8² - 4*8 + 5 = 64 - 32 + 5 = 37

Portanto:

a₉ = S₉ - S₈ = 50-37

a₉ = 13

b)

Observe que usando o mesmo raciocínio do item anterior podemos obter o termo geral para n ≥ 2:

Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ₋₁ + aₙ

Sₙ₋₁ = a₁ + a₂+ ... + aₙ₋₁

Logo, aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁. E como

Sₙ = n²-4n+5

Sₙ₋₁ = (n-1)² - 4(n-1) + 5 = n² - 6n + 10

Temos:

aₙ = (n²-4n+5) - (n² - 6n + 10)

aₙ = 2n -5

Como aₙ é da forma An+B, segue que é o termo geral de uma PA. Então temos que a partir de a₂ a sequência é uma PA de razão 2:

( a₂, a₃, a₄, a₅, a₆,  ...) = (-1, 1, 3, 5, 7, ...)

Porém infelizmente a₁ = S₁ = 2. Daí a sequência completa não é uma PA:

( a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆,  ...) = (2,-1, 1, 3, 5, 7, ...)

Obs.: A formula Sₙ dada só vale para n  a partir de 1. Por isso precisamos que seja n ≥ 2 para usar aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁.

Answer 2

Resposta:

a) Como temos a fórmula da soma, se calcularmos a soma até o oitavo termo e depois a soma até o nono, a diferença entre os dois números encontrados é exatamente o nono termo.

S(8) = 8² - 4.8 + 5 = 64 - 32 + 5 = 37

S(9) = 9² - 4.9 + 5 = 81 - 36 + 5 = 50

Logo o 9º termo é 50 - 37 = 13.

b) Vamos calcular alguns dos termos para ver se ela é toma forma de P.A. ou P.G.

S(1) = primeiro termo da sequência = 1² - 4.1 + 5 = 1 - 4 + 5 = 2

S(2) = 2² - 4.2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1, como fizemos na letra A, S(2) - S(1) é igual ao segundo termo que é 1 - 2 = -1

S(3) = 3² - 4.3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2

Logo, o terceiro termo é S(3) - S(2) = 2-1 = 1

S(4) = 4² - 4.4 + 5 = 16 - 16 +5 = 5

Logo, o quarto termo é S(4) - S(3) = 5 - 2 = 3

S(5) = 5² - 4.5 + 5 = 25 - 20 + 5 = 10

O quinto termo é S(5) - S(4) = 10 - 5 = 5

Nossa sequência tem começa a se formar

2,- 1, 1, 3, 5...

Podemos notar que a partir do segundo termo, os números vão crescendo de 2 em 2, portanto temos uma P.A. A resposta do Cássio tem a forma do termo geral. :)