Question

(QUESTÃO 28 DA PROVA DA AFA 2016)
Considere as funções reais f, g e h tais que

(segue no anexo)

Para que a função composta h o g o f(x) tenha domínio D=R, deve-se ter
a)
b)
c)
d)

Answer 1

$gof = g(f) = \frac{1}{ mx^2-(m+2)x+(m+2) } \\ hogof = h(g(f)) = \sqrt{ \frac{1}{ mx^2-(m+2)x+(m+2) } }$

Analisando o domínio: Como é um denominador, não pode ser igual a zero. Como está dentro da raiz, não pode ser negativo. Então:

$mx^2-(m+2)x+(m+2) \ \textgreater \ 0$

Para que uma equação do segundo grau seja sempre maior que zero, é preciso que seu coeficiente do termo de maior grau seja positivo (m > 0) e também que seu delta seja menor que zero:

$\triangle<0  \\ (m+2)^2 - 4 \cdot m \cdot (m+2) < 0 \\ 4 -3m^2 - 4m < \\ -2 > x ou x > \frac{2}{3}$

Mas lembrando que o m deve ser positivo:

$x >  \frac{2}{3}$