Questão 2
Um time de corredores de rua está participando de uma prova rústica, e o gráfico de velocidade do corredor A e do corredor B são os indicados a seguir:
De posse dos dados do gráfico, calcule qual o tempo, em horas, em que o corredor B encontra-se com o corredor A no meio da prova e qual a distância total da prova rústica em Km.
Soluções para a tarefa
Distância total da prova: 25 km
Os corredores se encontram em 0,43 horas
De duas formas podemos calcular os dados da questão, numa aplicação de Calculo 1 vemos que:
- A derivada o espaço é igual a velocidade
- A derivada da velocidade é igual a aceleração.
Derivada na mais nada menos é do que a variação de uma variável em relação a outra. Então ao calcular a derivada da velocidade com relação ao tempo , encontraremos a aceleração. Igual ao que é estudado no ensino médio:
- Δv = ΔS/Δt
- Δa = Δv/Δt
A integral representa o processo contrário da derivada, e será igual a área abaixo do gráfico. Então se integrarmos a reta do gráfico representando a velocidade, encontraremos o deslocamento.
As retas do corredor B:
40.v = t , para t < 0,5
v = 20 , para 0,5 < t < 1,5
A distância percorrida pelo Corredor B será:
0 ⇒ 0,5 e para a segunda integral de 0,5 ⇒ 1,5
Distância: ∫ 40v.dv = v² . 20 = [v².20] = [0,5².20 - 0².20] = 5 km
Distância: ∫ 20.dv = 20.v = [20.1,5 - 20.0,5] = [30 - 10] = 20 km
As retas do corredor A:
t = -6.v + 11 , para t < 1
v = 202.t/5 + 177/5 , para 1 < t < 1,5
v = 25,2 , para 1,5 < t < 18,75
Distância: ∫ (-6.v + 11)dv = -6v² + 11v = -6.1² + 11.1 = 8 km
Distância: ∫ (202.t/5 + 177/5).dt = 7,55 km
Distância: ∫ (25,2.dv) = 9,45 km
Distância total da prova: 25 km
Então pelos cálculos percebemos que o corredor B passará o corredor A em algum momento no intervalo entre 0 a 1 hora:
[0 a 0,5]∫ 40v.dv + [0,5 a t]∫ 20.dv = [0 a t]∫ (-6.v + 11)dv
[0,5².20 - 0².20] + [20.t - 10] = [-6.t² + 11.t]
5 + 20t - 10 + 6t² - 11t = 0
6t² + 9t - 5 = 0
Δ = 81 + 120 = 201
(-9 +- 14,17 ) / 12 = 0,43
Os corredores se encontram em 0,43 horas