Question

(QUESTÃO 19 DA PROVA DA AFA DE 2016)Considere as expressões(disponível em foto).

O valor de A/B é um número compreendido entre
a)117 e 120
b)114 e 117
c)111 e 114
d)108 e 111

Answer 1

$A = 26^2 - 24^2+23^2-21^2+20^2-18^2+...+5^2 - 3^2 \\ A = (26-24)\cdot(26+24) +(23-21)\cdot(23+21)+...+(5-3)\cdot(5+3) \\ A = (2)\cdot(50) +(2)\cdot(44)+(2)\cdot(38)...+(2)\cdot(8) \\ A = (2)\cdot(50+44+38+...+8) \\ A = (2)\cdot \frac{(50+8)\cdot 8}{2} \\ A = 464$

$B = 2\cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[8]{2} \cdot \sqrt[16]{2}... \\ B = 2^1 \cdot 2 ^{ \frac{1}{2} } \cdot 2 ^{ \frac{1}{4} } \cdot 2 ^{ \frac{1}{8} } \cdot 2 ^{ \frac{1}{16} } }... \\ B = 2 ^{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+... } \\ B = 2 ^{ \frac{1}{1 - \frac{1}{2} } } \\ B = 2 ^{ 2 } \\ B = 4$

$\frac{A}{B} = \frac{464}{4} = 116$

Alternativa B

Answer 2

Vamos lá.

Egg, pelo que estamos entendendo a questão é esta e cuja resolução reputamos imples.
Tem-se: 

i)

A = (26²-24²) + (23²-21²) + (20²-18²) + (17²-15²) + (14²-12²) + (11²-9²) + (8²-6²) + (5²-3²) ------ ou:

A = (676-576) + (529-441) + (400-324) + (289-225) + (196-144) + (121-81) + (64-36) + (25-9)

A = 100 + 88 + 76 + 64 + 52 + 40 + 28 + 16

Veja que A é uma PA de 8 termos, cuja razão (r) igual a (-12), cuja soma será dada por:

S₈ = (100+16)*8/2
S₈ = (116)*4 --- ou apenas:
S₈ = 116*4
S₈ = 464 <--- Este é o valor do número A.

ii) Agora vamos ao valor de B, que é dado por:

B = 2√(2) * ⁴√(2) * ⁸√(2) * ¹⁶√(2).......  Note que isto é a mesma coisa que:

B = 2¹*2¹/² * 2¹/⁴ * 2¹/⁸ * 2¹/¹⁶ ......  ---- como é um produto de potências da mesma base, então ficaremos assim:

B = 2¹⁺¹/²⁺¹/⁴⁺¹/⁸+¹/¹⁶.......

Note que: aí em cima, temos o "2" elevado a uma soma de expoentes (1+1/2+1/4+1/8+1/16....) constituindo uma PG infinita, cuja razão (q) é igual a "1/2" e cuja soma (dos expoentes) é dada por:

Sn = a₁/(1-q) ---- fazendo as devidas substituições, teremos:
Sn = 1/(1-1/2)
Sn = 1/(1/2) ---- note que 1/(1/2) = 2. Assim:
Sn = 2 <--- Esta é a soma dos expoentes (1+1/2+1/4+1/8+1/16.....)

Agora vamos para o número B, que é que é este:

B = 2¹⁺¹/²⁺¹/⁴⁺¹/⁸+¹/¹⁶....... ---- substituindo-se a soma dos expoentes por "2", teremos:

B = 2²
B = 4 <--- Este é o valor do número B.

iii) Finalmente, agora vamos ao que está sendo pedido, que é a razão  A/B. Assim, substituindo-se A e B por seus valores já encontrados antes, teremos:

A/B = 464/4
A/B = 116 <--- Esta é a resposta.

Agora vamos enquadrar nas opções que foram dadas.
Então "116" está enquadrado entre:

114 e 117 <--- Esta é a resposta. Opção "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.