Question

Questão 10

Se x>0 tal que a sequência $a_1 = log_2\ x$, $a_2 = log_4\ 4x$, $a_3=log_8\ 8x$ forme, nessa ordem, uma progressão aritmética então $a_1 + a_2 + a_3$ é:

$a)\ 6,5\\b)\ 7,5\\c)\ 3,25\\d)\ 1,875\\e) \ 0,5$

Instruções:
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3) Não utilize o espaço destinado para respostas para fazer comentários.

Divirtam-se. :))

Answer 1

Para que esses três números formem uma PA é necessária que a seguinte relaçõa seja satisfeita:$a_1+a_3=2a_2$

i) Vamos aplicar as propriedades dos logaritmos para simplificar $a_2$ e $a_3$:

$a_2=\log\limits_44x\Rightarrow a_2=\log\limits_4x+\log\limits_44\\ a_2=\log\limits_{2^2}x+1\Rightarrow a_2=\dfrac12\log_2x+1\\ \\ a_3=\log\limits_88x\Rightarrow a_3=\log\limits_8x+\log\limits_88\\ a_3=\log\limits_{2^3}x+1\Rightarrow a_3=\dfrac13\log_2x+1$

ii) Agora que simplificamos podemos substituir na relação citada inicialmente:

$\log\limits_2x+\dfrac13\log\limits_2x+1=2\left(\dfrac12x+1\right)\\ \log\limits_2x+\dfrac13\log\limits_2x+1=\log\limits_2x+2\\ \dfrac13\log\limits_2x=1\Rightarrow \log\limits_2x=3\\ \\ \boxed{x=8}$

iii) Agora que temos o valor de $x$ podemos calcular o valor de $a_2$, o único termo necessário para se calcular o que foi pedido (por causa da relação inicial, necessária para que a sequência seja uma PA). Teremos, então, que:

$a_1+a_2+a_3=3*a_2\\ a_1+a_2+a_3=3\left(\dfrac12\log_2x+1\right)\\ a_1+a_2+a_3=3\left(\dfrac12\log_28+1\right)\\ a_1+a_2+a_3=3\left(\dfrac12*3+1\right)\\ a_1+a_2+a_3=3*(1,5+1)\\ a_1+a_2+a_3=3*2,5\\ \\ \boxed{\boxed{a_1+a_2+a_3=7,5}}$