Question

Questão 1 – Epcar / 2016

As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P, conforme figura abaixo. Exercícios de Trigonometria
Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se BC = 6√3 km, então CP é, em km, igual a

a) 6 +√3. B) 6(3 − √3 ). C) 9 √3 − √2. D) 9(√ 2 − 1)

Answer 1

Utilizando o teorema da bissetriz interna em um triângulo, descobrimos que CP vale 6(3 - √3) km.

Qual é o teorema da bissetriz interna?

Completando com a informação que falta:

O ângulo $\hat{C}$ = 30º

Tendo o lado BC e o ângulo $\hat{C}$, podemos calcular a hipotenusa AC utilizando relações trigonométricas:

cos 30° = cateto adjacente/hipotenusa

√3/2 = 6√3/x

√3x = 6√3 · 2

√3x = 12√3

x = 12

Utilizando relações trigonométricas, também podemos achar o lado AB:

tg 30º = cateto oposto/cateto adjacente

√3/3 = x/6√3

3x = 6√3 · √3

3x = 6 · 3

x = 6

Sabendo os lados do triângulo ABC, podemos utilizar o teorema da bissetriz interna para calcular CP.

O teorema da bissetriz interna mostra que ao traçar uma bissetriz em um triângulo, ela dividirá os lados opostos em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Então para o triângulo da questão, temos a seguinte relação:

BC/CP = BA/PA

Não temos o valor de PA, porém como PA = AC - CP e já sabemos que AC é igual a 12, então PA = 12 - CP, substituindo teremos:

BC/CP = BA/(12 - CP)

6√3/CP = 6/(12 - CP)

6CP = 6√3(12 - CP)

6CP = 72√3 - 6√3CP

6CP + 6√3CP = 72√3

CP · (6 + 6√3) = 72√3

CP = 72√3 / 6(1 + √3)

CP = 12√3 / (1 + √3)

CP = 12√3(1 - √3) / (1 + √3)(1 - √3)

CP = 12√3 - 36 / -2

CP = 18 - 6√3

CP = 6(3 - √3)

Então, CP = 6(3 - √3) km, alternativa B.

Saiba mais sobre o teorema da bissetriz interna em: https://brainly.com.br/tarefa/51563277

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