Question

questao 1 A equação diferencial y" - y = 0 tem solução geral y(t) = C1et + C2e-t.

Determine a solução particular considerando as condições iniciais y(0) = 2 e y'(0) = -1.

a) y(t) = (1/2)et + (3/2)e-t

b) y(t) = 2et + 3e-t

c)y(t) = (3/2)et + 2e-t

d) y(t) = -et - 3e-t

e) y(t) = (-1/2)et - (5/2)e-t


questao 2 Encontre a solução do PVI (Problema de valor inicial) considerando a condição y(0) = 1.

\({dy\over dx} + {e^x}y^2 = 0 \)

a) y(x) = ex/2

b)y(x) = 1/ex

c) y(x) = e2x

d) y(x) = ex

e) y(x) = 1/e2x

questao 3 Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveis\(\frac{dy}{dx}=e^{-7x}\)

a) \(y=-\frac{e^{-7x}}{6}+C\)

b) \(y=-e^{-7x}+C\)

c) \(y=-e^{-6x}+C\)

d) \(y=\frac{e^{-7x}}{6}+C\)

e) \(y=-\frac{e^{-7x}}{7}+C\)

Answer 1

Questão 1

Sendo $y(t) = c_1e^t + c_2e^{-t}$, temos que:

$y'(t) = c_1e^t - c_2e^{-t}$

Logo, fazendo y(0) = 2 e y'(0) = -1 encontramos:

c₁ + c₂ = 2

c₁ - c₂ = -1

Somando as duas equações:

2c₁ = 1

$c_1 =\frac{1}{2}$.

Substituindo o valor de c₁ na primeira equação:

$\frac{1}{2}+c_2=2$

$c_2=2-\frac{1}{2}$

$c_2 =\frac{3}{2}$

Portanto, a solução particular é igual a:

$y(t) =\frac{1}{2}e^t + \frac{3}{2}e^{-t}$

Alternativa correta: letra a).

Questão 2

Temos que $\frac{dy}{dx}+e^x.y^2=0$.

Perceba que esta é uma equação diferenciável separável.

Então:

$\frac{dy}{y^2} = -e^xdx$

Integrando ambos os lados da equação:

$\int\ {\frac{1}{y^2}} \, dy =-\int\ {e^x} \, dx$

$-\frac{1}{y} = -e^{x} + c$

$\frac{1}{y} = e^{x} + c_1$

$y =\frac{1}{e^{x}+c_1}$

Portanto,

y(0) = 1

$1 =\frac{1}{1+c_1}$

c₁ = 0.

Logo, a solução do PVI é $y =\frac{1}{e^x}$

Alternativa correta: letra d).

Questão 3.

Novamente temos uma equação separável.

Dito isso:

$\frac{dy}{dx}=e^{-7x}$

$dy = e^{-7x}dx$

Integrando ambos os lados:

$\int\ dy=\int\ {e^{-7x}} \, dx$

$y = -\frac{e^{-7x}}{7}+c$

Alternativa correta: letra e).