QUESTÃO 04 - Considere o triângulo ABC inscrito
na circunferência de raio 1 com ângulos BÂC = 60°
e AẾC = 45°, conforme a figura abaixo. Calcule o
comprimento de cada um dos três lados do triângulo
ABC.
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O comprimento de cada um dos três lados do triângulo ABC é:
AC = √2
BC = √3
AB = (√2 + √6)/2
Explicação:
O ângulo inscrito ABC mede 45°. Assim, o ângulo central correspondente mede o dobro, ou seja, 90°.
O raio mede 1 cm. Assim, por Pitágoras, temos:
x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
x = √2
Aplicando a Lei dos Senos, temos:
x = y
sen 45° sen 60°
√2 = y
√2/2 √3/2
2 = y
√3/2
y = √3
z = x
sen 75° sen 45°
sen 75° = sen (30° + 45°) = sen 30°.cos 45° + cos 30°.sen 45° =
1/2.√2/2 + √3/2.√2/2 = √2/4 + √6/4 = (√2 + √6)/4
z = √2
(√2 + √6)/4 √2/2
z = 2
(√2 + √6)/4
z = (√2 + √6)/2
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