Matemática, perguntado por betoace, 1 ano atrás

Quero a resolução da função exponencial que está anexada.

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Danndrt
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A formula dada é a seguinte:

P(t) =  P_{0}  10^{kt}

Antes de continuar, deveremos estabelecer quem é P0 e k. O problema ja fala que inicialmente haviam 300 pessoas, então P0 = 300 e a equação agora fica:

P(t) =  P_{0}  10^{kt}  \\ P(t) =  300.  10^{kt}

Para calcular k, vamos usar a parte onde diz que após 400 anos, haviam 100.000 pessoas, assim, quando t = 400, P(t) = 100.000

P(t) = 300. 10^{kt} \\  \\ 100000 = 300 .  10^{k . 400} \\  \\  \frac{100000}{300}  = 10^{k . 400} \\  \\ \frac{1000}{3}  = 10^{400k} \\  \\ log(\frac{1000}{3} ) = log(10^{400k}) \\  \\ log(1000) - log(3) =400k.log(10)  \\  \\ log(10^{3} ) - log(3) =400k.log(10)  \\  \\  3log(10 ) - log(3) =400k.log(10)

Sabemos que log de 10 na base 10 é 1:

3 - log(3) =400k   \\  \\ 
400k = 3 - log(3) \\  \\ k =  \frac{3 - log(3)}{400}

Agora vamos colocar esse valor de k na equação P(t) novamente:

P(t) = 300. 10^{kt} \\  \\ P(t) = 300. 10^{(\frac{3 - log(3)}{400})t}

Agora, vamos determinar o que se pede:

Para t = 800, qual o valor de P(t)?

P(t) = 300. 10^{(\frac{3 - log(3)}{400})t} \\  \\ P(t) = 300. 10^{(\frac{3 - log(3)}{400})800} \\  \\ P(t) = 300. 10^{(3 - log(3)).2} \\  \\ P(t) = 300. 10^{6 - 2log(3)} \\  \\ P(t) = 300. 10^{6 - log( 3^{2} )} \\  \\  P(t) = 300. \frac{ 10^{6} }{ 10^{log( 3^{2} )} }

Por definição:

 10^{log(a)} = a

Então:

10^{log( 3^{2} )} =  3^{2} = 9

Logo:

P(t) = 300. \frac{ 10^{6} }{ 10^{log( 3^{2} )} } \\  \\ P(t) = 300. \frac{ 10^{6} }{ 9 } \\  \\ P(t) = 3.  10^{2} . \frac{ 10^{6} }{ 9 } \\  \\ P(t) =  3 . \frac{ 10^{8} }{ 9 } \\  \\ P(t) =   \frac{ 10^{8} }{ 3 } \\  \\ P(t) =   \frac{ 100000000 }{ 3 } \\  \\ P(t) = 33.333.333,33

Assim, quem mais se aproxima é a alternativa C

betoace: show , mas log ainda não sei direito tentei de todas as formas com as ferramentas de exponencial mas não consegui valeu mesmo.
Danndrt: Tranquilo. Bom, o passo mais aplicável seria mesmo o log. Vou ver se encontro algo que não envolva log. Um conselho, se vc está no ensino médio ou prestará vestibular ou enem, é bom saber log. Abraço
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