Question

Os lados de um triângulo retângulo estão em PG. Calcule a razão dessa PG

Answer 1

Sejam $a$, $b$ e $c$ os lados deste triângulo retângulo, de forma que:

$\bullet\;\;a$ é a medida do cateto menor;

$\bullet\;\;b$ é a medida do cateto maior;

$\bullet\;\;c$ é a medida da hipotenusa.


Sendo assim, devemos ter

$\bullet\;\;a<b<c\\ \\ \bullet\;\;a^{2}+b^{2}=c^{2}\;\;\;\text{(Teorema de Pit\'{a}goras)}$


Como os lados devem formar uma progressão geométrica, então

$\bullet\;\;$ a sequência $\left(a,\,b,\,c \right )$ é uma P.G. crescente, onde todos os termos são positivos. Então, a razão $q$ desta P.G. deve ser maior que $1$:

$\bullet\;\;q>1$


Em uma P.G., a razão entre dois termos consecutivos deve ser constante (e igual à razão $q$ da P.G.). Então:

$q=\dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b}$


Dividindo a relação de Pitágoras por $a^{2}$, obtemos

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\\ \\ \dfrac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}=\dfrac{c^{2}}{a^{2}}\\ \\ \dfrac{a^{2}}{a^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}=\dfrac{c^{2}}{a^{2}}\\ \\ 1+\left(\dfrac{b}{a} \right )^{2}=\dfrac{c^{2}\cdot b^{2}}{a^{2} \cdot b^{2}}\\ \\ 1+\left(\dfrac{b}{a} \right )^{2}=\dfrac{c^{2}}{b^{2}}\cdot \dfrac{b^{2}}{a^{2}}\\ \\ 1+\left(\dfrac{b}{a} \right )^{2}=\left(\dfrac{c}{b} \right )^{2}\cdot \left(\dfrac{b}{a} \right )^{2}\\ \\ 1+q^{2}=q^{2}\cdot q^{2}\\ \\ 1+q^{2}=q^{4}\\ \\ q^{4}-q^{2}-1=0\\ \\ \left(q^{2} \right )^{2}-q^{2}-1=0$


Fazendo a mudança de variável

$\bullet\;\;p=q^{2}$

onde $p>0$, pois é o quadrado de um número real, temos

$p^{2}-p-1=0$


Resolvendo a equação acima utilizando a fórmula resolutiva (Bháskara), temos

$\Delta=\left(-1 \right )^{2}-4\cdot \left(1 \right )\cdot \left(-1\right)\\ \\ \Delta=1+4\\ \\ \Delta=5\\ \\ \\ p=\dfrac{-\left(-1 \right )\pm \sqrt{5}}{2}\\ \\ p=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}\\ \\ \begin{array}{rcl} p=\dfrac{1+ \sqrt{5}}{2}&\text{ ou }&p=\dfrac{1- \sqrt{5}}{2}\text{ (n\~{a}o serve)} \end{array}\\ \\ p=\dfrac{1+ \sqrt{5}}{2}$


Substituindo de volta para a variável $q$, temos

$q^{2}=\dfrac{1+ \sqrt{5}}{2}\\ \\ \boxed{q=\sqrt{\dfrac{1+ \sqrt{5}}{2}}}$


A razão desta P.G. é $\sqrt{\dfrac{1+ \sqrt{5}}{2}}$.