Question

Quero a área do triângulo.
Até já introduzi a lei das retas partindo de um mesmo vértice e tangenciando uma circunferência, que, não era dada na questão.

Answer 1

Em geral, a área de um triângulo em função do raio da circunferência inscrita é

$S=p\cdot r$, onde $p=\dfrac{a+b+c}{2}$.

É possível chegar à esse resultado traçando alturas (que são raios da circunferência), que dividem o triângulo maior em três triângulos menores.

As áres desses triângulos são $\dfrac{ar}{2}$, $\dfrac{br}{2}$ e $\dfrac{cr}{2}$, sendo $a,b,c$ os lados desse triângulo.

A área do triângulo maior é, então, $\dfrac{ar}{2}+\dfrac{br}{2}+\dfrac{cr}{2}=\dfrac{(a+b+c)r}{2}=p\cdot r$.

Neste caso, temos $r=2$ e $p=8\div2=4$.

Logo, a resposta é $S_{\triangle}=2\cdot4=8~\text{ua}$.