Queria aprender a chegar no cálculo da questão! Perguntei com Faso a conta pra chegar a raiz quadrada de 87, e me deram o resultado, o resultado eu consigo na calculadora, Google, e outros meios. Eu quero aprender a fazer raiz que não seja um número exato. Obrigada! Att: Cesar.
Soluções para a tarefa
Oi,
É bom ver que você percebeu que o resultado a gente consegue na calculadora, mas o que importa é como chegar nele.
Não vou usar o exempo que você pediu, pois 87 é um número grande para fazer as contas, vou usar o 2 pois é inexato e ainda é irracional, então da no mesmo.
Também, vou utilizar cálculo para resolver, mas não se assuste com isso se você nao souber, você pode ir fazendo o desenho e ver geometricamente o que está acontecendo, e se quiser apenas aplicar, não vai precisar fazer nada de complexo como vou mostrar.
A pergunta fica, que número x que elevado ao quadrado da 2?
Ou seja, queremos resolver x² = 2, que é a mesma coisa que x² - 2 = 0
Podemos enxergar isso como uma função, uma parábola, que obviamente corta no raiz de 2 como raiz.
Entao, reduzimos nosso problema a encontrar a raiz dessa funcao:
Vamos começar com um valor qualquer para x, que seja próximo e maior que a nossa raiz que a nossa raiz, vamos dizer um valor x0.
Agora, pegamos a reta que é tangente a parábola no valor x0.
Sabemos pela geometria analítica do ensino médio que essa reta tem a forma:
y - f(x0) = m(x - x0).
Só que, do cálculo, sabemos que o coeficiente angular m da reta é exatamente a derivada da função no ponto (ainda vou mostrar como chegar nela), então podemos escrever:
y - f(x0) = f'(x0) (x - x0).
Como pegamos um x0 > raiz de 2, sabemos que essa reta tangente que criamos cruza o eixo x em algum ponto x1 > raiz de 2.
Entao a igualdade vale:
0 - f(x0) = f'(x0)(x1 - x0), pois a reta cruza em (x,y) = (x1, 0)
Ou ainda:
x1 = x0 - f(x0)/f'(x)
E está pronto, se você está acompanhando o raciocínio, se tiver um desenho ajuda, deve ter percebido que podemos repetir esse processo infinitamente e chegaremos infinitamente perto do raiz de 2.
Generalizando, podemos escrever:
Xn+1 = Xn - f(Xn)/f'(Xn).
A única coisa que falta é o coeficiente angular dessas retas que vamos ter que encontrar de maneira continua, para o método dar certo.
Bom, graças a matemática, derivar polinomios é bem simples, sempre que tivermos uma função de x elevado a alguma coisa, descemos a potência multiplicando e subtraimos 1 do expoente, ou seja:
x² -> 2x
x³ -> 3x²
2x⁵ -> 10x⁴
ax^n -> anx^(n-1)
Uma constante sempre possui derivada 0.
Ou seja, a função: f(x) = x² -2 -> f'(x) = 2x
E pronto, podemos substituir na fórmula:
Xn+1 = Xn - (Xn² -2)/2Xn
E agora, basta escolher qualquer Xn>raiz de 2 e ser feliz.
Por exemplo Xn = 2.
Xn+1 = 2 - 2/4 = 1,5.
Aplicando de novo:
Xn+1 = 1,5 - (1,5² - 2)/2*1,5 = 1,416
Que já é uma ótima aproximação, obviamente você pode aplicar isso infinitamente e ter quantas casas decimais você quiser.
E ainda utilizar esse método para encontrar qualquer raiz, não só quadrada, a única coisa que vai mudar é a derivada, que como eu mostrei é fácil de calcular.