Question

Quer-se pagar a quantia de R$ 102,00 em notas R$ 5,00, de R$ 2,00 e de R$ 1,00. De quantas maneiras se pode fazer o pagamento? Resp. 480

Answer 1

Resposta:

Premissas:

1) Temos que usar pelo menos uma nota

2) 102 é um número par, somando três números eles só podem ser:

par + par + par  =par

ímpar +par+ ímpar =par

3) a ordem não é importante.

4) A quantia  de dois Reais, sempre será par, as outras podem ser ímpar-ímpar ou par-par.

Com uma nota de 5 , teremos  ímpar-par-ímpar

1*5 +2*1+ 95 =102

.

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1*5 + 2*48 +1=102 >>>>>> usando PA ..95=1+(n-1)*2  ==>n=48  

Com duas notas de 5 é par-par-par

2*5 +2*1 +90 =102

.

.

2*5 +2*45 + 2 =102    >>>>>> 90=2+(n-1)*2 ==>n=45

Com três notas de 5 é ímpar-par-ímpar

3*5 +2*1  +85 =102

.

.

3*5 + 2*43  + 1  =102   >>>>>>  PA ..85=1+(n-1)*2  ==>n=43

Com quatro notas de 5 é par-par-par

4*5 + 2*1      +80 =102

4*5 + 2*40      +2 =102 ==> 80=2+(n-1)*2  ==>n=40

.

.

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.Aqui foi possível observar um padrão, não foi necessário fazer tudo:

ímpar-par-ímpar é uma PA => 48+43+38+33+28+23+18+13+8+3

par-par-par é uma PA => 45+40+35+30+25+20+15+10+5

.

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Observe as duas últimas:

Com dezoito notas de 5 é par-par-par

18*5+2*1+10=102

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18*5 +2*5+2=102 >>>>10=2+(n-1)*2  ==>n=5

Com dezenove notas de 5 é ímpar-par-ímpar

19*5 +2*1 +5 =102

.

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19*5 +2*3+1=102  >>>>5=1+(n-1)*2  ==>n=3

Para ímpar-par-ímpar    

48+43+38+33+28+23+18+13+8+3 = 255

Para par-par-par

45+40+35+30+25+20+15+10+5  =225  

Somando =255+225 =  480 é a resposta