Question

Quem souber responder me ajude por favor!vou dar todos os pontos q tenho aqui por ela.valeu galera bom fds a todos!

Answer 1

Inicialmente você tem que expandir a função dada em frações parciais.
As raízes do denominador são: -2 e 1, logo:

$\frac{3x}{x^2 + x -2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}$

Realizando o MMC no lado direito, temos:

$\frac{3x}{x^2 + x -2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}\\ \frac{3x}{x^2 + x -2} = \frac{A(x-1)+B(x+2)}{(x+2)(x-1)}\\ \frac{3x}{x^2 + x -2} = \frac{Ax-A+Bx+2B}{x^2 + x -2}\\ 3x = (A+B)x +(A+2B)\\ \left \{ {{A+B=3} \atop {-A+2B=0}} \right. \\ B = 1 \ e \ A = 2$

Então a integral fica simplesmente:

$\int\limits { \frac{2}{x+2} + \frac{1}{x-1} } \, dx = 2 \ ln|x+2| + ln|x-1| + C$

Answer 2

Temos a seguinte integral:

$\int\limit \frac{3x}{x^2+x-2} \, dx$

Primeiramente, iremos tentar fatorar o denominador.

x²+x-2 = a(x-x₁)(x-x₂)

Δ =  b²-4*a*c

Δ = 1²-4*1*-2

Δ = 9

$\\ x = \frac{-b+/- \sqrt{DELTA} }{2a} \\ \\ x = \frac{-1+/- \sqrt{9} }{2*1} \\ \\ x= \frac{-1+/-3}{2} \\ \\ x_{1} = \frac{-1-3}{2} = -2 \\ \\ x_{2} = \frac{-1+3}{2} =1$

Portanto:

x²+x-2 = 1(x-(-2))(x-1)

x²+x-2 = (x+2)(x-1)

Vamos substituir na integral:

$\int\limits \frac{3x}{(x+2)(x-1)} dx =$

vamos trabalha apenas com a decomposição, depois retornamos a integral:


$\\ \frac{3x}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{(x+2)} + \frac{B}{(x-1)} \\ \\ \frac{3x}{(x+2)(x-1)} = \frac{A(x-1)+B(x+2)}{(x-2)(x-1)} \\ \\ 3x = A(x-1)+B(x+2) \\ \\ 3x = Ax-A +Bx +2B \\ \\ 3x = x(A+B) + (2B -A)$


Vamos fazer um sistema, igualando os coeficientes correspondentes:

$\\ 3 = A+B \\ \\ 2B -A=0$

Isolando A na primeira equação:



$3-B = A$

Substituindo "A" na segunda eq:


$\\ 2B -A = 0 \\ \\ 2B-(3-B)=0 \\ \\ 2B+B-3=0 \\ \\ 3B -3=0 \\ \\ B=1$

Substituindo B=1 em uma das eq, para determinar o valor de "A"



$\\ 3= A+B \\ \\ 3 = A+1 \\ \\ A = 3-1\\ \\ A=2$

Agora iremos levar, O valor de A e B na integral:



$\\ \int\limits \frac{3x}{(x+2)(x-1)} dx = \int\limits \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1} dx \\ \\ \int\limits \frac{2}{X+2} + \frac{1}{X-1} dx =  [tex] \\ 2Ln|x+2|+1Ln|x-1|+K \\ \\ Ln|x+2|^2+Ln|x-1|+K \\ \\ Ln(x+2)^2+Ln|x-1|+K \\ \\ Ln[(x+2)^2|x-1|]+K$