Question

QUEM RESPONDER GANHA 30 PONTOS
A) determine A -1

B)usando o resultado do intem a. Resolva a equação A . x = B

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) Devemos lembrar que A · A⁻¹ = I (a matriz multiplicada por sua

   inversa resultará na matriz identidade $I_{n}$).

   Seja a matriz inversa

        $\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]$

   Então

        $\left[\begin{array}{ccc}5&3\\3&2\\\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

        $\left[\begin{array}{ccc}5.a+3.c&5.b+3.d\\3.a+2.c&3.b+2.d\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

   Fazendo a equivalência dos elementos com a matriz identidade,

   temos

        $\left\{{{5a+3c=1}\atop{3a+2c=0}}\right.$

        $\left\{{{5b+3d=0}\atop{3b+2d=1}}\right.$

   Temos dois sistemas.

   No primeiro, vamos multiplicar a primeira equação por 2 e a

   segunda equação por -3 para cancelarmos o c.

   No segundo, vamos multiplicar a primeira equação por 2 e a

   segunda equação por -3 para cancelarmos o d.

   

        1º)     10a + 6c = 2

                 -9a - 6c = 0

                     a        = 2

                 vamos substituir o valor de a em qualquer equação para

                 acharmos o valor de c

                 5a + 3c = 1

                 5 · 2 + 3c = 1

                 10 + 3c = 1

                 3c = 1 - 10

                 3c = -9 → c = -9 : 3 → c = -3

        2º)     10b + 6d = 0

                  -9b - 6d = -3

                      b        = -3

                   vamos substituir o valor de b em qualquer equação para

                  acharmos o valor de d

                  3b + 2d = 1

                  3 · (-3) + 2d = 1

                  -9 + 2d = 1

                  2d = 1 + 9

                  2d = 10 → d = 10 : 2 → d = 5

  Daí, a matriz inversa será

       $A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}2&-3\\-3&5\\\end{array}\right]$

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b) A · X = B

   $\left[\begin{array}{ccc}2&-3\\-3&5\\\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}x_{1}&x_{2}\\x_{3}&x_{4}\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}11&4\\9&8\\\end{array}\right]$

   $\left[\begin{array}{ccc}2.x_{1}+(-3).x_{3}&2.x_{2}+(-3).x_{4}\\-3.x_{1}+5.x_{3}&-3.x_{2}+5.x_{4}\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}11&4\\9&8\\\end{array}\right]$

   $\left[\begin{array}{ccc}2x_{1}-3x_{3}&2x_{2}-3x_{4}\\-3x_{1}+5x_{3}&-3x_{2}+5x_{4}\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}11&4\\9&8\\\end{array}\right]$

   

   Fazendo a equivalência entre as duas matrizes, temos

   $\left\{{{2x_{1}-3x_{3}=11}\atop{-3x_{1}+5x_{3}=9}}\right.$

   $\left\{{{2x_{2}-3x_{4}=4}\atop{-3x_{2}+5x_{4}=8}}\right.$

   Temos dois sistemas.

   No primeiro, vamos multiplicar a primeira equação por 5 e a

   segunda equação por 3 para cancelarmos o x₃.

   No segundo, vamos multiplicar a primeira equação por 5 e a

   segunda equação por 3 para cancelarmos o x₄.

   1º)     10x₁ - 15x₃ = 55

            -9x₁ + 15x₃ = 27

               x₁            = 82

            vamos substituir o valor de x₁ em qualquer equação para

            acharmos o valor de x₃.

            2x₁ - 3x₃ = 11

            2 · 82 - 3x₃ = 11

            164 - 3x₃ = 11

            -3x₃ = 11 - 164

            -3x₃ = -153 → x₃ = -153 : (-3) → x₃ = 51

   2º)     10x₂ - 15x₄ = 20

             -9x₂ + 15x₄ = 24

                 x₂            = 44

             vamos substituir o valor de x₂ em qualquer equação para

             acharmos o valor de x₄.

             2x₂ - 3x₄ = 4

             2 · 44 - 3x₄ = 4

             88 - 3x₄ = 4

             -3x₄ = 4 - 88

             -3x₄ = -84 → x₄ = -84 : (-3) → x₄ = 28

   Daí,

                $X=\left[\begin{array}{ccc}82&44\\51&28\\\end{array}\right]$