Question

Quem puder me ajudar com este problema, agradeço!!

Vamos considerar um quadrilátero que apresenta lados opostos paralelos e congruentes, dois a dois, ABCD de vértices A=(1,1), B=(4,3) e C=(5,4). Encontre a equação da reta r que passa pelo vértice D e é paralela a diagonal de ABCD que não passa por D.

Answer 1

A equação da reta r que passa pelo vértice D e é paralela a diagonal de ABCD que não passa por D é 3x - 4y = -2.

Vamos considerar que M é o ponto médio das diagonais AC e BD.

Sendo A = (1,1) e C = (5,4), temos que:

2M = A + C

2M = (1,1) + (5,4)

2M = (6,5)

M = (3,5/2).

Considere que D = (x,y). Sendo B = (4,3), obtemos:

2M = B + D

(6,5) = (4,3) + (x,y)

(x,y) = (6,5) - (4,3)

(x,y) = (2,2). Ou seja, D = (2,2).

A diagonal que não passa por D passa pelos pontos A e C.

A equação reduzida da reta é da forma y = ax + b. Substituindo os pontos A e C nessa equação, obtemos o sistema:

{a + b = 1

{5a + b = 4.

Da primeira equação, temos que b = 1 - a. Substituindo esse valor na segunda equação:

5a + 1 - a = 4

4a = 3

a = 3/4.

Consequentemente:

b = 1 - 3/4

b = 1/4.

Portanto, a equação da reta é:

y = 3x/4 + 1/4

4y = 3x + 1

3x - 4y = -1.

A equação da reta que passa por D e é paralela à reta 3x - 4y = -1 é da forma 3x - 4y = c.

Substituindo o ponto D nessa equação, concluímos que:

3.2 - 4.2 = c

c = -2 ∴ r: 3x - 4y = -2.