Question

quem poder estar me ajudando eu agradeço muito :)

Answer 1

1. $\mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{R}:x \leq-\dfrac{5}{2}\textsf{ ou }x\geq-\dfrac{1}{2}\right\}.}$

2. $\mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{R}:\dfrac{1}{2}\leq x\leq 3\right\}.}$

3. $\mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{R}:x <-4\textsf{ ou }x>9\right\}.}$

Explicação

Vamos resolver as inequações dadas fazendo o estudo do sinal da função quadrática.

Inequação 1

$\large\mathsf{4x(x+3)\geq-5}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{4x^2+12x+5\geq0}$

Seja $\mathsf{f(x)=4x^2+12x+5.}$ Observe que a solução da inequação 1 corresponde aos valores de x para os quais a função f(x) é não negativa.

De início, vamos calcular os zeros de f(x), ou seja, determinar os x tais que $\mathsf{4x^2+12x+5=0.}$

Calculemos o discriminante:

$\large\mathsf{\Delta=12^2-4\cdot4\cdot5}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{\Delta=144-80}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{\Delta=64}$

Como delta é positivo, a equação possui duas raízes reais distintas.

$\large\mathsf{x=\dfrac{-12\pm\sqrt{64}}{2\cdot 4}}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{x=\dfrac{-12\pm8}{8}}$

Daí:

$\large\mathsf{x=\dfrac{-12+8}{8}=\dfrac{-4}{8}=-\dfrac{1}{2}}$

ou

$\large\mathsf{x=\dfrac{-12-8}{8}=\dfrac{-20}{8}=-\dfrac{5}{2}.}$

Observe, na imagem anexa, que $\mathsf{f(x)\geq0}$ para $\mathsf{x \leq-\dfrac{5}{2}\textsf{ ou }x\geq-\dfrac{1}{2}.}$

Logo, a solução desta inequação é:

$\large\boxed{\mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{R}:x \leq-\dfrac{5}{2}\textsf{ ou }x\geq-\dfrac{1}{2}\right\}.}}$

Inequação 2

$\large\mathsf{2x^2+3\leq 7x}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{2x^2-7x+3\leq 0}$

Seja $\mathsf{f(x)=2x^2-7x+3.}$ Então, a solução da inequação 2 corresponde aos valores de x para os quais f(x) é não positiva.

Agora, vamos calcular os zeros da função.

Cálculo de delta:

$\large\mathsf{\Delta=7^2-4\cdot2\cdot3}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{\Delta=49-24}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{\Delta=25}$

Dessa forma, temos:

$\large\mathsf{x=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{25}}{2\cdot 2}}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{x=\dfrac{7\pm5}{4}}$

Isto é:

$\large\mathsf{x=\dfrac{7+5}{4}=\dfrac{12}{4}=3}$

ou

$\large\mathsf{x=\dfrac{7-5}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.}$

Pela imagem, anexa vemos que a função é igual a zero ou negativa para $\mathsf{\dfrac{1}{2}\leq x\leq 3.}$

Portanto, a solução da inequação 2 é:

$\large\boxed{\mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{R}:\dfrac{1}{2}\leq x\leq 3\right\}.}}$

Inequação 3

$\large\mathsf{2x^2-3x-36>x^2+2x}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{2x^2-x^2-3x-2x-36>0}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{x^2-5x-36>0}$

Seja $\mathsf{f(x)=x^2-5x-36.}$ A solução da inequação 3 é igual ao conjunto dos valores de x para os quais a função f(x) é positiva.

De forma análoga aos itens anteriores, determinemos os zeros da função desta função quadrática.

Cálculo do delta:

$\large\mathsf{\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-36)}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{\Delta=25+144}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{\Delta=169}$

Desse modo segue que:

$\large\mathsf{x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{169}}{2\cdot 1}}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{x=\dfrac{5\pm13}{2}}$

Ou seja:

$\large\mathsf{x=\dfrac{5+13}{2}=\dfrac{18}{2}=9}$

ou

$\large\mathsf{x=\dfrac{5-13}{2}=\dfrac{-8}{2}=-4.}$

Pelo gráfico da imagem anexa, vemos que f(x) é positiva para x < -4 ou x > 9. Isso significa que a solução da inequação 3 é:

$\large\boxed{\mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{R}:x <-4\textsf{ ou }x>9\right\}.}}$

Dúvidas? Comente.

Espero ter ajudado! :)