Question

[quem conseguir responder essa questão de 9º ano em 30minutos (ou menos ) merece Baton garoto]


Calculando a soma das raizes racionais da equação:

$4 ( {x}^{2} + \frac{1}{ {x}^{2} } ) = 8(x + \frac{1}{x} ) - 3$
encontraremos:
a)
$\frac{ - 3}{4}$
b)
$\frac{3}{5}$
c)
$\frac{2}{3}$
d)
$\frac{5}{2}$
e)
$\frac{3}{2}$



​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Bem,vc quer em menos de 30 minutos,então vou tentar ser breve abahaba (se alguma parte ficar confusa,deixa lá embaixo nos comentários):

$4( {x}^{2} + \frac{1}{ {x}^{2} } + 2 - 2) = 8(x + \frac{1}{x} ) - 3 \\ \\ 4( ({x + \frac{1}{x} })^{2} - 2) = 8(x + \frac{1}{x} ) - 3$

Mudança de variável:

$(x + \frac{1}{x} ) = y$

Então:

$4( {y}^{2} - 2) = 8y - 3 \\ \\ 4 {y}^{2} - 8 = 8y - 3 \\ \\ 4 {y}^{2} - 8y - 5 = 0$

DELTA = (- 8)² - 4.4. - 5

DELTA = 64 + 80

DELTA = 144

$y = \frac{8 + - \sqrt{144} }{8} \\ \\ y = \frac{8 + - 12}{8} \\ \\ y1 = \frac{20}{8} \\ \\ y1 = \frac{5}{2} \\ \\ e \\ \\ y2 = \frac{ - 4}{8} \\ \\ y2 = - \frac{1}{2}$

Vamos substituir na mudança de variável lá em cima:

$x + \frac{1}{x} = y \\ \\ \frac{ {x}^{2} + 1 }{x} = \frac{5}{2} \\ \\ {x}^{2} + 1 = \frac{5x}{2} \\ \\ {x}^{2} - \frac{5x}{2} + 1 = 0$

$delta = {( - \frac{5}{2} )}^{2} - 4.1.1 \\ \\ delta = \frac{25}{4} - 4 \\ \\ delta = \frac{9}{4} \\ \\ delta = {( \frac{3}{2}) }^{2}$

$x = \frac{ \frac{5}{2} + - \sqrt{ { \frac{3}{2} }^{2} } }{2.1} \\ \\ x = \frac{ \frac{5}{2} + - \frac{3}{2} }{2} \\ \\ x1 = 2 \\ \\ e \\ \\ x2 = \frac{1}{2}$

São as primeiras duas raízes de x.Mas falta achar outras duas raízes de x,substituindo,na mudança de variável,y por y'':

$x + \frac{1}{x} = - \frac{1}{2} \\ \\ \frac{ {x}^{2} + 1 }{x} = - \frac{1}{2} \\ \\ {x}^{2} + 1 = - \frac{x}{2} \\ \\ {x}^{2} + \frac{x}{2} + 1 = 0$

$delta = ( { - \frac{1}{2}) }^{2} - 4.1.1 \\ \\ delta = \frac{1}{4} - 4 \\ \\ delta = - \frac{15}{4}$

Se o delta é negativo,essa segunda parte da equação não possui raízes reais,então as duas raízes de x são 2 e 1/2.Ele nos pede a soma,então:

$2 + \frac{1}{2} \\ \\ \frac{5}{2}$

Que é a resposta da questão.

LETRA D)

Menos de 30,juro abhabaha

Espero ter ajudado,deixa qualquer dúvida aí nos comentários.Bons estudos :v

PS: Eu passei bem rápido por algumas partes,então me avisa se vc tiver dúvida no que eu fiz ao decorrer da equação,tá bem ?