Question

que regra eu uso para calcular isso ???????? a resposta tem que dar raiz de 3 sobre 2.....já tentei um monte de jeito diferente e não consigo ç.ç

Answer 1

Racionalizamos frações do tipo $\dfrac{y}{a\pm\sqrt{b}}$ multiplicando o numerador e o denominador pelo "conjugado" do denominador, ou seja:

$\boxed{\boxed{\dfrac{y}{a\pm\sqrt{b}}=\dfrac{y\cdot(a\mp\sqrt{b})}{(a\pm\sqrt{b})\cdot(a\mp\sqrt{b})}}}$

Lembre-se:

Produto da soma pela diferença de dois termos

$\boxed{\boxed{(a+b)\cdot(a-b)=a^{2}-b^{2}}}$
______________________________

$cos(\alpha)=1-\dfrac{1}{2(2+\sqrt{3})}=1-\dfrac{1}{4+2\sqrt{3}}\\\\\\cos(\alpha)=\dfrac{ 4+2\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}}-\dfrac{1}{4+2\sqrt{3}}\\\\\\cos(\alpha)=\dfrac{4+2\sqrt{3}-1}{4+2\sqrt{3}}\\\\\\cos(\alpha)=\dfrac{3+2\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}}$

Multiplicando em cima e embaixo por 4 - 2√3:

$cos(\alpha)=\dfrac{(3+2\sqrt{3})\cdot(4-2\sqrt{3})}{(4+2\sqrt{3})\cdot(4-2\sqrt{3})}$

Fazendo a distributiva no numerador e usando o produto da soma pela diferença (produto notável) no denominador:

$cos(\alpha)=\dfrac{12-6\sqrt{3}+8\sqrt{3}-4(\sqrt{3})^{2}}{4^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}\\\\\\cos(\alpha)=\dfrac{12+2\sqrt{3}-4\cdot3}{16-2^{2}(\sqrt{3})^{2}}\\\\\\cos(\alpha)=\dfrac{12+2\sqrt{3}-12}{16-4\cdot3}\\\\\\cos(\alpha)=\dfrac{2\sqrt{3}}{16-12}\\\\\\cos(\alpha)=\dfrac{2\sqrt{3}}{4}\\\\\\\boxed{\boxed{cos(\alpha)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}$