Question

Quatro retas distintas dividem o plano em quantas regioes no maximo?

Answer 1

4



(ja tentei varias possibilidades e a maioria deu 4 ou menos)

Answer 2

=== Problema === 

Determinar r(n), o número máximo de regiões em que n retas dividem um plano 


=== Solução === 

O primeiro corte produz duas regiões: 
r(1) = 2 

O segundo aumenta em duas o número de regiões, se cortar a reta anterior: 
r(2) = 2 + r(1) = 4 

O terceiro aumenta em três o número de regiões, se cortar as duas anteriores em pontos distintos: 
r(3) = 3 + r(2) = 7 

O quarto aumenta em quatro o número de regiões, se cortar as três anteriores em pontos distintos: 
r(4) = 4 + r(3) = 11 

Achamos então uma definição recursiva para r : 
r(1) = 2 
r(n) = n + r(n - 1) 

Agora busquemos uma forma fechada para r(n) : 
r(n) = n + r(n - 1) 

Como r(n - 1) = n - 1 + r(n - 2), ficamos com: 
r(n) = n + (n - 1) + r(n - 2) 

Repetindo o processo para r(n - 2), temos: 
r(n) = n + (n - 1) + (n - 2) + r(n-3) 

Podemos então facilmente extender o processo até r(1): 
r(n) = n + (n - 1) + (n - 2) + ... 2 + r(1) 
r(n) = n + (n - 1) + (n - 2) + ... 2 + 2 
r(n) = n + (n - 1) + (n - 2) + ... 2 + 1 + 1 

As n primeiras parcelas representam a soma dos n primeiros termos de uma PA de ao=1 e razão p=1. Logo: 
r(n) = n + (n - 1) + (n - 2) + ... 2 + 1 + 1 
r(n) = n.(n + 1) / 2 + 1 
r(n) = (n² + n) / 2 + 1 
r(n) = (n² + n + 2) / 2 

c.q.m. 


=== Resposta === 

A função r(n), o número máximo de regiões em que n retas dividem um plano, é dada por: 
r(n) = (n² + n + 2) / 2 

A função r(n) forma a série (para n ≥ 0) : 
1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, ... 

Parabéns pela pergunta. É raro ver coisas assim por aqui. 


=== Adendo === 

Como um plano é um círculo de lado infinito ou ainda um quadrado de raio infinito, o resultado é o mesmo se o problema fosse dividir um círculo ou um quadrado no maior número possível de regiões, usando n retas. A diferença é que, no plano, apenas algumas regiões serão finitas. Assim você já sabe que o máximo número possível de pedaços que se obtém dividindo uma pizza com 4 cortes retos é ... 
r(4) = (4² + 4 + 2) / 2 = 22 / 2 = 11 pedaços ! 


=== Extensão tridimensional === 

Qual o número máximo de regiões de um espaço 3D que se pode obter com n planos? 

Sendo t(n) a função procurada, é possível deduzir que: 
t(1) = 2 
t(n) = r(n - 1) + t(n - 1), 
onde r(n) é a função que encontramos para a pizza. 

E daí, após alguma manipulação algébrica, chegar na resposta, a definição fechada de t(n): 
t(n) = C(n + 1 , 3) + n + 1, 
onde C(n + 1 , 3) é o número de combinações de n + 1 elementos, 3 a 3. 

A função t(n) forma a série (para n ≥ 0) : 
1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, ... 

Que, analogamente, é também o máximo número de pedaços em que se pode dividir uma esfera ou um cubo (um bolo!) com n planos. 

Poderíamos perfeitamente chamar a primeira série de "série pizza" e a segunda de "série bolo" ..