Question

quantos termos tem p.g (16,4,...1/2 elevado a 20)

Answer 1

Olá.

 

Temos a sequência:

 

$\mathsf{\left(16,~4,~...,~\dfrac{1}{2^{20}}\right)}$

 

Para resolver essa questão, devemos usar algumas propriedades de potências e alguns conceitos/fórmulas de PG. Apresento todo o necessário antes de mostrar o desenvolvimento. Usaremos:

 

- Produto de potências. Em multiplicação de potências de mesma base, mantemos o a base e somamos o expoente.

 

$\mathsf{a^r\cdot a^s=a^{r+s}}$

 

- Potência com expoente negativo. Quando tem um expoente negativo, inverte-se a base em forma de fração.

 

$\mathsf{a^{-1}=\dfrac{1}{a}}$

 

- Potência com expoente fora de parênteses. Quando tem um expoente fora de parênteses com uma potência dentro, deve manter e base e multiplicar os expoentes.

 

$\mathsf{\left(a^p\right)^q=a^{p\cdot q}}$

 

- Razão de uma P.G (q). A razão de uma P.G (período de repetição) é dado pelo quociente de um termo com seu antecessor.

 

$\mathsf{q=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}$

 

- Termo geral de uma P.G. Consiste em uma “fórmula” que é usada, entre outras coisas, para descobrir o número de termos de uma P.G. Para essa questão, manipularei o termo brevemente, para facilitar o desenvolvimento. Usaremos a forma da última linha.

 

$\mathsf{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}\\\\\mathsf{a_n=a_1\cdot q^{n}\cdot q^{-1}}$

 

Com base em tudo o que foi mostrado acima, vamos aos cálculos de forma direta. Começo com a razão.

 

$\mathsf{q=\dfrac{4}{16}=\dfrac{4^{:4}}{16^{:4}}=\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2^2}}$

 

Substituindo valores no termo geral, vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{a_n=a_1\cdot q^{n}\cdot q^{-1}}\\\\\mathsf{\dfrac{1}{2^{20}}=16\cdot\left(\dfrac{1}{2^2}\right)^{n}\cdot\left(\dfrac{1}{2^2}\right)^{-1}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{2^{20}}=2^4\cdot\dfrac{1^n}{\left(2^2\right)^n}\cdot2^2}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{2^{20}}=2^4\cdot\dfrac{1}{2^{2n}}\cdot2^2}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{2^{20}}=\dfrac{2^4\cdot2^2}{2^{2n}}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{2^{20}}=\dfrac{2^{4+2}}{2^{2n}}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{2^{20}}=\dfrac{2^{6}}{2^{2n}}}$

 

Multiplicando cruzado, teremos:

 

$\mathsf{1\cdot2^{2n}=2^{20}\cdot2^6}\\\\\mathsf{2^{2n}=2^{20+6}}\\\\\mathsf{2^{2n}=2^{26}}$

 

Como as bases são iguais, podemos igualar apenas os expoentes. Teremos:

 

$\mathsf{2n=26}\\\\\mathsf{n=\dfrac{26}{2}}\\\\\boxed{\mathsf{n=13}}$

 

O número de termos dessa P.G é igual a 13.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$