Question

Quantos termos da pg 1 3 9 27 devem ser somados para que o resultado de 3280

Answer 1

Olá.

Temos a P.G: {1, 3, 9, 27, ...}

Para saber quantos termos consecutivos devem ser somados, podemos usar a fórmula para o cálculo da soma de termos de uma P.G finita. 

$\mathsf{S=\dfrac{a_1\cdot\left(q^n-1\right)}{q-1}}$

A razão (q) da P.G pode ser obtida através da divisão entre um termo e seu antecessor. Dividindo 3 por 1 fica claro que a razão é 3. 

Substituindo o valor da Soma, do primeiro termo e da razão na fórmula, podemos encontrar a quantidade de termos. Vamos aos cálculos.

$\mathsf{S=\dfrac{a_1\cdot\left(q^n-1\right)}{q-1}}\\\\\\ \mathsf{3.280=\dfrac{1\cdot\left(3^n-1\right)}{3-1}}\\\\\\ \mathsf{3.280=\dfrac{3^n-1}{2}}\\\\\\ \mathsf{3.280\cdot2=3^n-1}\\\\ \mathsf{6.560=3^n-1}\\\\ \mathsf{6.560+1=3^n}\\\\ \mathsf{6.561=3^n}$

Fatorando o 6.561 podemos encontrar sua forma de potência de base 3. Teremos:

$\begin{array}{r|l}6.561&3\\ 2.187&3\\ 729&3\\ 243&3\\ 81&3\\ 27&3\\ 9&3\\ 3&3\\ 1\end{array}\\\\ \mathsf{6.561=3^8}$

Voltando ao cálculo anterior, substituindo 6.561 pela forma fatorada, teremos:

$\mathsf{6.561=3^n}\\\\\mathsf{3^8=3^n}$

Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes, logo, n = 8.

Devem ser somados 8 termos.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$