Question

quantos termo possui a PA. (4,7,...,91) ??

Answer 1

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Identificando os termos da P.A., teremos:

$a _{1}=4$

$r=a _{2}-a_{1}=7-4=3$

$A _{n}=91$

Aplicando a fórmula do termo geral da P.A.:

$A _{n}=a _{1}+(n-1)r$

$91=4+(n-1)3$

$91-4=3n-3$

$87=3n-3$

$87+3=3n$

$90=3n$

$n=90/3$

$n=30$

Resposta: Esta P.A. possui 30 termos

Answer 2

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (4, 7, ..., 91), tem-se que:

a)trata-se de uma progressão aritmética (PA) finita, porque se sabe qual é o último termo, embora não se conheça a sua posição, a ordem em que ele se encontra na referida sequência;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 4

c)último termo (an): 91 (Chama-se último termo ou enésimo termo porque não se conhece a posição (a ordem) que ele ocupa na progressão.)

d)número de termos (n): ? (Embora não se saiba o seu valor, necessariamente se diz que será positivo e inteiro, porque não existe indicação de quantidade por meio de números negativos e de decimais.)

e)por meio da observação dos dois primeiros termos e do último da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer).

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 7 - 4 ⇒

r = 3   (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o número de termos:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

91 = 4 + (n - 1) . (3) ⇒

91 = 4 + 3n - 3 ⇒

91 = 1 + 3n ⇒        

91 - 1 = 3n  ⇒

90 = 3n ⇒

90/3 = n ⇒

30 = n ⇔               (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

n = 30

Resposta: O número de termos da P.A.(4, 7, ..., 91) é 30.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo n = 30 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o número de termos realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

91 = a₁ + (30 - 1) . (3) ⇒

91 = a₁ + (29) . (3) ⇒      (Veja a Observação 2.)

91 = a₁ + 87 ⇒

91 - 87 = a₁ ⇒

4 = a₁ ⇔                         (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 4                              (Provado que n = 30.)

Observação 2: Na parte destacada, foi aplicada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).

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