Question

Quantos são os pares diferentes de inteiros positivos $(a,b)$ tais que $a+b\le100$ e $\dfrac{a+\dfrac{1}{b}}{b+\dfrac{1}{a}}=13$.

Answer 1

Temos:

$13=\dfrac{a+\dfrac{1}{b}}{b+\dfrac{1}{a}}=\dfrac{\dfrac{ab+1}{b}}{\dfrac{ab+1}{a}}=\dfrac{(ab+1)\times a}{(ab+1)\times b}=\dfrac{a}{b}$.

Logo, $a=13b$. Como $a+b\le100$, segue que $14b\le100$.

Portanto, $b\le7,14$. Como $b$ é inteiro, devemos ter $b\le7$. 

Logo, os pares são em número de sete, a saber,

$(13,1),(26,2),(39,3),(52,4),(65,5),(78,6)$ e $(91,7)$.

Answer 2

solução em anexo  abaixo