Question

Quantos são os números de 4 algarismos distintos formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 que são divisíveis por 5?

Answer 1

Boa noite!

 Fixemos o dígito ZERO na última posição:

- O primeiro algarismo poderá ser ocupado por cinco daqueles números;

- O segundo algarismo poderá ser ocupado por quatro dígitos;

- O terceiro algarismo tem três possibilidades (5 - 2);

- A última posição foi ocupada pelo zero, considerada inicialmente, daí UMA possibilidade.


 Fixemos o dígito CINCO na última posição:

- O primeiro algarismo poderá ser ocupado por quatro daqueles números; não acrescentamos nem o zero nem o cinco, pois não contamos/consideramos números que começam pelo zero, exemplo, 0453; e, o cinco foi fixado na última posição;

- O segundo algarismo poderá ser ocupado por quatro dígitos; o zero poderá ser contado agora...;

- O terceiro algarismo tem três possibilidades (5 - 2);

- A última posição foi ocupado pelo cinco, inicialmente, daí UMA possibilidade.

  Do que fora exposto, tiramos que:

$\\ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1 + 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1 = \\\\ \boxed{108}$

Answer 2

=> Nota Importante:

Temos um dupla restrição em relação ao algarismo "ZERO" ...ele NÃO PODE ocupar o 1º digito (milhares) ...MAS TEM de ocupar o último digito (unidades).

Assim temos 4 dígitos DISTINTOS para serem ocupados por 6 algarismo de modo a que o número resultante seja divisível por 5 ..ou seja tem de terminar em "0" e "5"

Para evitar erros da dupla restrição do zero...vamos dividir o cálculo em 2 partes:

=> Considerando o "0" no digito das unidades temos ainda 5 algarismos para os restantes 3 dígitos, donde resulta:

N = 5.4.3.1

N = 60 <--- números distintos com o "0" nas unidades

=> Considerando o "5" no digito das unidades temos ainda 5 algarismos para os restantes 3 dígitos, ..mas o zero NÃO PODE ocupar o 1º dígito donde resulta:

N = 4.4.3.1 

...note que o 1º digito não pode ser o "0" nem o "5" donde restam 4 possibilidades

..note que o 2º digito não pode ser o "5" nem o algarismo utilizado no 1º digito ..logo temos de novo 4 possibilidades.

..note que o 3º digito não pode ser o "5" nem os 2 algarismo utilizados nos dígitos anteriores ..logo temos 3 possibilidades.

Resolvendo:

N = 48 <--- números distintos com o "5" nas unidades

Assim o total de números será dado por:

N = 60 + 48

N = 108 <--- números distintos divisíveis por 5

Espero ter ajudado