Question

quantos são os inteiros positivos múltiplos de 7 e de 11 menores que 10 000 ?

Answer 1

Todos os múltiplos de $7$ e de $11$ são múltiplos do

$\mathrm{m.m.c.}\left(7,\,11 \right )$  (mínimo múltiplo comum entre $7$ e $11$).


Como $7$ e $11$ são primos, temos que

$\mathrm{m.m.c.}\left(7,\,11 \right )=7\times 11\\ \\ \mathrm{m.m.c.}\left(7,\,11 \right )=77$


Basta saber quantos múltiplos de $77$ existem até $10\,000$.


Fazendo a divisão inteira de $10\,000$ por $77$ obtemos

$10\,000=\underbrace{129}_{\text{quociente}}\times\;\; 77\;+\;\underbrace{67}_{\text{resto}}$


$\bullet\;\;$ O menor múltiplo positivo de $77$ é

$1\times 77=77$


$\bullet\;\;$ O maior múltiplo positivo de $77$, menor que $10\,000$ é $77\times 1=77$

$129\times 77=9\,923$


Logo, temos $129$ múltiplos positivos de $77$, menores que $10\,000$.