Question

Quantos são os anagramas da palavra TELEVISOR em que asconsoantes aparecem na mesma ordem relativa (TLVSR), em posições quaisquer, juntas ou não?

Answer 1

Olá, Rafael.

Observe que, nos anagramas pedidos pelo enunciado do exercício, temos cinco posições "marcadas", as das consoantes T, L V, S e R, restando, assim, quatro posições "livres", que são as vogais.

Exemplos: _ _ T _ L _ VSR, _ _ _ _ TLVSR, T_L_V_S_R, etc.

Ou seja: fixadas as consoantes  T, L, V, S e R em duas devidas posições, temos 4 x 3 x 2 x 1 = 4! possibilidades de posicionar as vogais restantes. Como a vogal E aparece duas vezes, devemos dividir 4! por 2! e ficamos, então, com 4 x 3 x 2! / 2! = 12 possibilidades de arranjos das vogais nas posições restantes.

O problema, então, resume-se em contarmos de quantas maneiras diferentes podemos posicionar as consoantes T, L, V, S e R de tal forma que fiquem na ordem TLVSR e, a partir daí, multiplicarmos esta quantidade encontrada por 12, que é o número de arranjos das vogais nas posições restantes.

Veja que, para que a sequência TLVSR seja mantida, a consoante T só pode estar alocada entre a 1.ª posição e, no limite, a 5.ª posição. Se T estivesse na 5.ª posição, teríamos o anagrama: _ _ _ _ T L V S R. Ou seja: a posição do T varia entre 1 e 5.

Analogamente, verificamos que a consoante L só pode estar alocada, no mínimo, a partir da 2.ª posição e, no máximo, até a 6.ª posição Na 6.ª posição teríamos o anagrama: _ _ _ _ _ L V S R. Ou seja: a posição do L varia entre 2 e 6.

E assim por diante. Temos, então, o seguinte intervalo de variação de posições para cada uma das consoantes:

T: posições 1 a 5
L: posições 2 a 6
V: posições 3 a 7
S: posições 4 a 8
R: posições 5 a 9

Observe agora que a quantidade de possibilidades de posicionamento de cada consoante depende da posição da consoante anterior. Exemplos:
- se o T está na posição 1, há 5 possibilidades de posição para o L (de 2 a 6);
- se o T está na posição 3, há 3 posições possíveis para o L (de 4 a 6);
- se o L está na posição 2 há 5 posições possíveis para o V (de 3 a 7);
- se o L está na posição 4 há 3 posições possíveis para o V (de 5 a 7);
- se o V está na posição 6, há 2 posições possíveis para o S (7 ou 8);
- se o V está na posição 7, há 1 posição possível para o S (8);
- se o S está na posição 7, há 2 posições possíveis para o R (8 ou 9).

E assim por diante.

Então, cada consoante possui a seguinte quantidade de posições possíveis, dada a posição da consoante anterior: 

T: 5 possibilidades (o T é a primeira consoante, não depende da anterior)
L: 5, 4, 3, 2 ou 1 possibilidades (depende de onde o T está)
V: 5, 4, 3, 2 ou 1 possibilidades (depende de onde o L está)
S: 5, 4, 3, 2 ou 1 possibilidades (depende de onde o V está)
R: 5, 4, 3, 2 ou 1 possibilidades (depende de onde o S está)

Portanto, o número de arranjos possíveis é dado por:

$(\underbrace{[\text{n.\º\ de\ posi\c{c}\~oes poss\'iveis do T}]}_{5}+\underbrace{[\text{n.\º\ de\ posi\c{c}\~oes poss\'iveis do L}]}_{5+4+3+2+1}+\\ +\underbrace{[\text{n.\º\ de\ posi\c{c}\~oes poss\'iveis do V}]}_{5+4+3+2+1}+\underbrace{[\text{n.\º\ de\ posi\c{c}\~oes poss\'iveis do S}]}_{5+4+3+2+1}+\\+\underbrace{[\text{n.\º\ de\ posi\c{c}\~oes poss\'iveis do R}]}_{5+4+3+2+1})\times\underbrace{[\text{n.\º\ de\ arranjos das vogais}]}_{12}=$

$=[5 + 4 \times (5 + 4 + 3 + 2 + 1)] \times 12= \\\\ =[5+4\times15]\times12= \\\\ =[5+60]\times12=65\times12=\\\\ =\boxed{780\text{ anagramas poss\'iveis}}$