Question

Quantos números pares de três algarismos distintos existem?

Answer 1

Resposta:

números pares --> terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8 (5 possibilidades)  

entre 100 e 999 --> o 1° algarismo não pode ser zero.  

distintos --> não pode repetir algarismo.  

se o 1° algarismo é impar --> 1, 3, 5, 7, 9 (5 possibilidades)  

5vezes 8 vezes 5 = 200 (8 pq não pode ser nem o 1° nem o 3° algarismo)  

se o 1° algarismo é par --> 2, 4, 6, 8 (4 possibilidades)  

4 vezes 8 vezes 4 = 128  

128 mais  200 = 328

total = 328 números pares distintos

Answer 2

Para respondermos isso teremos de utilizar da análise combinatória ao nosso favor. Todo número de 3 algarismos pode ser escrito como

$\overline{abc}$

Onde a, b e c são os algarismos, em que $a,b,c \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ pertencentes ao inteiros e $a\neq 0$.

Queremos um número desta estrutura, mas que seja par e que todos os seus algarismos sejam distintos. Vamos analisar quais as possibilidades de números para cada algarismo em diferentes casos:

c - Tomemos o 1 caso quando c = 0, assim as possiblidades de b mudam de modo que

b - O algarismo b não tem muitas restrições, somente o fato de que deve ser diferente de 0, pois assim os algarismos serão distintos, deste modo há outras 9 opções de escolha

$a\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

a - o algarismo a tem algumas condições, que é que seja diferente de 0, e que não repita os números que foram escolhidos para b, já que c = 0, portanto temos 8 possibilidades:

$a\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}-\{b\}$

Assim, existem $1\times9\times8 = 72$ casos, porém não são todos, pois temos que calcular para c diferente de 0

Para o segundo:

c – c pode ser qualquer número par que não seja zero, e portanto tem 4 possibilidades para isso:

$c\in\{2,4,6,8\}$

b - O algarismo b deve ser diferente de c e de 0, pois assim os algarismos serão distintos (o caso com b = 0 será mostrado a frente), deste modo há outras 8 opções de escolha

$a\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}-\{c\}$

a - o algarismo a tem algumas condições, que é que seja diferente de 0, e que não repita os números que foram escolhidos para b e c, portanto temos 7  possibilidades:

$a\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}-\{b,c\}$

Portanto, existem $4\times8\times7 = 224$ casos.

E por último caso quando b = 0 é idêntico ao anterior,

a – tem a mesma possibilidade de 4.

b – passa a ter 1 só, já que b = 0

c – Volta a poder ser 8 casos, já que deve ser diferente de c e já é diferente de b pois a não pode ser 0.

Assim, outras $4\times1\times8$ possibilidades.

Enfim, o número total de possibilidades de números de 3 algarismos, pares e com todos distintos é

$224+72+32=328$