Matemática, perguntado por Bren4agirle, 1 ano atrás

Quantos numeros naturais n tais que 5n-12/n-8, é também um numero natural?


Lukyo: OBMEP

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
5
\dfrac{5n-12}{n-8}


Temos uma fração cujo denominador é (n-8). A ideia aqui é fazer com que apareça no numerador um múltiplo inteiro de (n-8).

Observe que

5n-40=5\cdot (n-8)


Então, se subtrairmos e somarmos 40 ao numerador, vamos obter um múltiplo inteiro de (n-8), e assim será possível fazer a simplificação com o denominador:


Subtraindo e adicionando 40 ao numerador, obtemos

\dfrac{5n-12}{n-8}\\\\\\=\dfrac{5n-40+40-12}{n-8}\\\\\\=\dfrac{5n-40+28}{n-8}\\\\\\ =\dfrac{5n-40}{n-8}+\dfrac{28}{n-8}\\\\\\ =\dfrac{5\cdot (n-8)}{n-8}+\dfrac{28}{n-8}\\\\\\ =5+\dfrac{28}{n-8}\\\\\\\\ \therefore~~ \dfrac{5n-12}{n-8}=5+\dfrac{28}{n-8}~~~~~~\text{com }n\ne 8


De acordo com a última igualdade acima, para que a fração dada seja um número natural, é necessário e suficiente que


\bullet\;\;n-8 seja um divisor inteiro de 28\,;

Dessa forma, garantimos que \dfrac{28}{n-8}\in\mathbb{Z}


\bullet\;\;\dfrac{28}{n-8}\ge -5

Aqui, garantimos que 5+\dfrac{28}{n-8}\in\mathbb{N}

_____________________________

Da primeira condição, devemos ter

n-8\in \text{Divisores}(28)\\\\\\ n-8\in \{\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 4,\,\pm 7,\,\pm 14,\,\pm 28\}


Mas n é natural, logo,

n\ge 0~~\Rightarrow~~n-8\ge -8


Então, podemos descartar do nosso conjunto de possibilidades o -14 e o -28. E assim, reduzimos o nosso problema a

n-8\in \{\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 4,\,\pm 7,\,14,\,28\}\\\\ n\in \{8+1,\,8-1,\,8+2,\,8-2,\,8+4,\,8-4,\,8+7,\,8-7,\,8+14,\,8+28\}\\\\ n\in \{9,\,7,\,10,\,6,\,12,\,4,\,15,\,1,\,22,\,36\}

(10 possibilidades)

_____________________________

Resta-nos agora, garantir que \dfrac{28}{n-8}\ge -5.

Vamos varrer todas as 10 possibilidades:

\bullet\;\; Para n=9:

\dfrac{28}{9-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{1}\\\\ =28\ge -5~~~~(\checkmark)


\bullet\;\; Para n=7:

\dfrac{28}{7-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{-1}\\\\ =-28<-5~~~~(\diagup\!\!\!\!\!\diagdown)


\bullet\;\; Para n=10:

\dfrac{28}{10-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{2}\\\\ =14\ge-5~~~~(\checkmark)


\bullet\;\; Para n=6:

\dfrac{28}{6-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{-2}\\\\ =-14<-5~~~~(\diagup\!\!\!\!\!\diagdown)


\bullet\;\; Para n=12:

\dfrac{28}{12-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{4}\\\\ =7\ge -5~~~~(\checkmark)


\bullet\;\; Para n=4:

\dfrac{28}{4-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{-4}\\\\ =-7< -5~~~~(\diagup\!\!\!\!\!\diagdown)


\bullet\;\; Para n=15:

\dfrac{28}{15-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{7}\\\\ =4\ge -5~~~~(\checkmark)


\bullet\;\; Para n=1:

\dfrac{28}{1-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{-7}\\\\ =-4\ge -5~~~~(\checkmark)


\bullet\;\; Para n=22:

\dfrac{28}{22-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{14}\\\\ =2\ge -5~~~~(\checkmark)


\bullet\;\; Para n=36:

\dfrac{28}{36-8}\\\\\\ =\dfrac{28}{28}\\\\ =1\ge -5~~~~(\checkmark)

__________________________

Logo, os valores possíveis para n formam o seguinte conjunto:

\{9,\,10,\,12,\,15,\,1,\,22,\,36\}

e portanto há sete valores possíveis para n\,, de forma que

n\in\mathbb{N}~~\text{ e }~~\dfrac{5n-12}{n-8}\in\mathbb{N}


Bons estudos! :-)

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