Question

Quantos números naturais de 6 algarismos distintos podem ser formados com 1 à 7 de modo que os algarismos pares nunca fiquem juntos?

Answer 1

Temos os algarismos 

1,2,3,4,5,6,7   Temos que formar numeros de 6 algarismos sendo que os pares 2,4,6 não fiquem juntos, logo. 

podemos formar os numeros 

7!= 5040 Numeros diferentes 


agora calculando os numeros  pares com repetições temos o seguinte 

135724 = podemos  considerar o numero 24 como um único numero  e permutar os outros. 

5!.2!= 240 Numeros com os algarismos 24 juntos.
5!.2!= 240 com os algarismos 26 juntos.
5!.2!=240 numeros com os algarismos 64 juntos.


Considerando agora que os numeros tenham os algarismos 246 temos o seguinte.

246137 = 4!.3!= 144 Numeros
246135= 144 Numeros
246157 = 144 Numeros 
246573= 144 numeros

Somando nossas possibilidades temos  

144x4+240x3 = 720+576= 1296 

Subtraindo temos 

N=5040-1296
N=3744

Logo podemos formar 3744 numeros com os algarismos de 1 a 7  sendo que os pares não fiquem juntos.

A resposta será 480 caso sejam os numeros 

1,2,3,4,5,7 = 6 Posibilidades  e 2 numeros pares 

Veja que tenho um total de 6! =720 numeros 

desconsiderando os pares repetidos temos 

241237= Podemos permutar os pares entre se e os pares juntos logo ficando com 

N=2!.5!= 240 Numeros com os pares juntos 

Subtraindo temos 

N=720-240= 480 Numeros 

Logo Temos que a questão esta com um pequeno equivoco no gabarito! 


Espero ter ajudado!