Question

quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7 ?

Answer 1

R: 6171 




de 1000 a 10000 existem 9001 nº inteiros 

D(5) = 1000,1005,...10000 

an = a₁ + ( n - 1)r 
10000 = 1000 + 5n - 5 
n = 1801(divisíveis por 5) 

D(7) = 1001,1008,...9996 

bn = b₁ + ( n - 1)r 
9996 = 1001 + 7n - 7 
n = 1286 (divisíveis por 7) 

D(35) = 1015,1050,...9975 

Cn = c₁ + ( n - 1)r 
9975 = 1015 + 35n - 35 
n = 257(divisíveis por 5 e 7 ao mesmo tempo) 


divisiveis apenas por 5 : 1801 - 257 = 1544 
divisiveis apenas por 7 : 1286 - 257 = 1029 
divisíveis por 5 e 7 : 257 

1544 + 1029 + 257 = 2830 (divis´veis por 5 e 7)

os que não são: 9001 - 2830 = 6171

Answer 2

O que se quer é encontrar o número de elementos da união do conjunto dos números que não são divisíveis por 5 com o conjunto dos números que não são divisíveis por 7, de 1000 a 10000

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De 1000 a 10000, existem 10000 - 1000 + 1 números, ou seja, 9001 números no total.

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Número de elementos do conjunto dos números não divisíveis por 5

Para saber o número de número de elementos divisíveis por 5 de 1000 a 10000:

1000 dividido por 5 = 200
10000 dividido por 5 = 2000

2000 - 200 = 1800

Como 1000 é divisível por 5 e faz parte do limite inferior, adicionamos 1 a 1800 para obter 1801 elementos divisíveis por 5

Portanto, o número de elementos qua NÃO sáo divisíveis por 5 de 1000 a 10000 é 9001 - 1801 = 7200.

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Número de elementos do conjunto dos números não divisíveis por 7

Para ver o número de números divisíveis por 7:

1000 dividido por 7 = 142 (com resto)
10000 dividido por 7 = 1428 (com resto)

1428 - 142 = 1286

Como 1000 NÃO é divisível por 7, não somamos nada a 1286, ou seja,. há exatamente 1286 números que são divisíveis por 7 de 1000 a 10000.

Assim, o número de elementos que NÃO são divisíveis por 7 entre 1000 e 10000 será 9001 - 1286 = 7715.

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Número de elementos do conjunto dos números não divisíveis nem por 5 nem por 7

Resta saber agora quem são os números que são divisíveis simultaneamente por 5 e por 7 (ou seja, a interseção dos conjuntos dos números que são divisíveis por 5 e a dos conjuntos dos números que são divisíveis por 7). Números assim são também divisíveis por 35 (5 vezes 7).

1000 dividido por 35 = 28 (com resto)
10000 dividido por 35 = 285

285 - 28 = 257

Como 1000 NÃO é divisível por 35, não somamos nada a 257, ou seja,. há exatamente 257 números que são divisíveis por 7 de 1000 a 10000.

Assim, o número de elementos que NÃO são divisíveis por 7 entre 1000 e 10000 será 9001 - 257 = 8744.

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Então, o total de núemros que não são divisíveis por 5 nem por 7 será

   7200 (números que não são divisíveis por 5)
+ 7715 (números que não são divisíveis por 7)
-  8744 (números que não são divisíveis nem por 5 nem por 7)
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   6171

Portanto, de 1000 a 10000, existem 6171 números que não são divisíveis nem por 5 nem por 7